第二章 函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第六节 对数与对数函数A级·基础过关|固根基|1.(2019届长春模拟)已知对数函数f(x)＝logax是增函数，则函数f(|x|＋1)的图象大致是( )解析：选B 由函数f(x)＝logax是增函数知，a>1.∴f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)＝由对数函数图象知选项B符合．2．(2019届郑州模拟)设a＝log50.5，b＝log20.3，c＝log0.32，则a，b，c的大小关系是( )A．b<a<cB．b<c<aC．c<b<aD．a<b<c解析：选B a＝log50.5>log50.2＝－1，b＝log20.3<log20.5＝－1，c＝log0.32>log0.3＝－1，log0.32＝，log50.5＝＝＝.∵－1<lg0.2<lg0.3<0，∴<，即c<a，故b<c<a.故选B．3．函数y＝的值域为( )A．(0，3)B．[0，3]C．(－∞，3]D．[0，＋∞)解析：选D 当x<1时，0<3x<3；当x≥1时，log2x≥log21＝0，所以函数的值域为[0，＋∞)．4．(2020届陕西摸底)已知a>b>0，且a＋b＝1，x＝，y＝logab，z＝logb，则x，y，z的大小关系是( )A．x>z>yB．x>y>zC．z>y>xD．z>x>y\n解析：选A 解法一：因为a>b>0，且a＋b＝1，所以0<b<a<1，且1<<，所以x＝>＝1，y＝logab＝logab＝－1，z＝logb>logb＝－logbb＝－1，logb<logb1＝0，所以x>z>y，故选A．解法二：由题意不妨令a＝，b＝，则x＝>＝1，y＝log＝－1，z＝log>log3＝－1，z＝log<log1＝0，所以x>z>y，故选A．5．(2019届重庆第一中学期中)函数y＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：选D 函数的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令t＝x2－2x－8，在(－∞，－2)上，t＝x2－2x－8是减函数；在(4，＋∞)上，t＝x2－2x－8是增函数，故y＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故选D．6．(2019届广西柳州高级中学模拟)若函数f(x)＝存在最小值，则a的取值范围为( )A．(1，＋∞)B．[，＋∞)C．(1，]D．解析：选C 当x>3时，f(x)＝logax，函数必须满足a>1，否则函数无最小值，此时loga3≥f(x)min＝f(3)．当x≤3时，f(x)＝－2x＋8单调递减，满足f(x)≥f(3)＝2.所以loga3≥2，解得1<a≤，故选C．7．(2019届山东安丘、诸城、五莲、兰山区联考)若0<x<y<1，则( )A．3y<3xB．logx3<logy3C．log4x>log4yD．>解析：选D 对于A，由题意及指数函数的性质可得3y>3x，所以A不正确；对于B，由题意及对数函数的性质可得logx3>logy3，所以B不正确；对于C，由题意及对数函数的性质可得log4x<log4y，所以C不正确；对于D，由题意及指数函数的性质可得>，所以D正确．故选D．\n8．(2019届湖南湘潭三模)已知a＝2，b＝log，c＝log3，则( )A．b>c>aB．a>b>cC．c>b>aD．b>a>c解析：选D ∵a＝2，b＝log，c＝log3，∴0<a＝2<20＝1，b＝log>log＝1，c＝log3<log31＝0，∴b>a>c.故选D．9．(2019届安徽安庆二模)若函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的定义域与值域都是[m，n](m<n)，则a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(e，＋∞)C．(1，e)D．(1，e)解析：选D f(x)＝logax的定义域与值域相同，等价于方程logax＝x有两个不等的实数解．∵logax＝x，∴＝x，∴lna＝有两个不等实数解，问题等价于直线y＝lna与函数y＝的图象有两个交点．作函数y＝的图象，如图所示，根据图象可知，当0<lna<，即1<a<e时，直线y＝lna与函数y＝的图象有两个交点．故选D．10．(2019届安徽黄山模拟)已知函数f(x)＝log2.(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；\n(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函数，所以a＝0为所求．(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．(3)由已知，得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.由题设，得log2(1＋a)－log2≥2⇒故－<a≤－.B级·素养提升|练能力|11.(2020届湖北部分重点中学联考)已知x1＝ln，x2＝e，x3满足e－x3＝lnx3，则( )A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x1<x3D．x3<x1<x2解析：选A 因为e－x3>0，所以lnx3>0，所以x3>1.又ln<ln1＝0，0<e<e0＝1，所以x1<x2<x3.故选A．12．设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( )A．(－1，0)B．(0，1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：选A ∵f(x)＝lg是奇函数，\n∴对定义域内的x值，有f(0)＝0，由此可得a＝－1，∴f(x)＝lg，根据对数函数单调性，由f(x)<0，得0<<1，∴x∈(－1，0)．13．若函数f(x)＝loga有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(0，1)B．(0，1)∪(1，)C．(1，)D．[，＋∞)解析：选C 令u＝x2－ax＋＝＋－，则u有最小值－，欲使函数f(x)＝loga有最小值，则有解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，)，故选C．14．(2019届山东滨州模拟)若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0且a≠1)在区间内单调递增，则a的取值范围是( )A．B．C．D．解析：选B 由题意，得x3－ax>0在上恒成立，即a>x2在上恒成立，∴a≥.若0<a<1，则由已知，得g(x)＝x3－ax在上单调递减，即g′(x)＝3x2－a≤0在上恒成立，∴3×－a≤0，得≤a<1；若a>1，则g(x)＝x3－ax在上单调递增，即g′(x)＝3x2－a≥0在上恒成立，∴a≤0，这与a>1矛盾．综上，a的取值范围是.
