第7讲对数与对数函数1．(2022·焦作模拟)设a＝log54，b＝log53，c＝log45，则a，b，c的大小关系为( )A．a<c<b B．b<a<cC．a<b<cD．b<c<a解析：选B.因为y＝log5x在定义域内是增函数，所以b<a.又log54<1<log45，所以a<c，即b<a<c.2．(2022·西安模拟)若函数y＝log2(mx2－2mx＋3)的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．(0，3)B．[0，3)C．(0，3]D．[0，3]解析：选B.由题意知mx2－2mx＋3>0恒成立．当m＝0时符合题意；当m≠0时只需解得0<m<3.综上0≤m<3，故选B.3．(2022·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝( )A．3B．6C．9D．12解析：选C.因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.因为log212>1，所以f(log212)＝2log212－1＝＝6.所以f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.4．(2022·沈阳质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上递增，则( )A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选B.因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．5．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上递增，则a的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(0，1)C.D．(3，＋∞)解析：选D.由于a>0，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则y＝logau必为增函数，因此a>1.又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，所以a－3>0，即a>3，故选D.6．(2022·高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数．记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<cB．c<a<bC．a<c<bD．c<b<a解析：选B.因为f(x)是偶函数，所以m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由题意得a＝f(log0.53)＝f(－log23)＝f(log23)，因为log25>log23>0，所以4\nf(log25)>f(log23)>f(0)，即b>a>c，故选B.7．计算÷100－＝________．解析：原式＝(lg2－2－lg52)×100＝lg×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.答案：－208．(2022·云南省师大附中适应性考试)“10a>10b”是“lga>lgb”的________条件．解析：当lga>lgb时，a>b>0，则10a>10b；当10a>10b时，a>b，无法得出lga>lgb.答案：必要不充分9．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为________．解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．答案：[1，2)10．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：①其图像关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间(－1，0)、(2，＋∞)上是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中所有正确命题的序号是________．解析：根据已知条件可知f(x)＝lg(x≠0)为偶函数，显然利用偶函数的性质可知命题①正确；对真数部分分析可知最小值为2，因此命题③正确；利用复合函数的单调性判定法则可知f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，f(x)为偶函数，故f(x)在(－1，0)上递增，在(－∞，－1)上递减，故命题④正确，命题②错误；函数f(x)有最小值，因此命题⑤错误．答案：①③④11．(1)计算：lg－lg＋lg；(2)设2a＝5b＝m，且＋＝2，求m的值．解：(1)lg－lg＋lg＝×(5lg2－2lg7)－×lg2＋(lg5＋2lg7)＝lg2－lg7－2lg2＋lg5＋lg7＝lg2＋lg5＝lg(2×5)＝.(2)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m＝.4\n12．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．解：(1)由ax－1>0，得ax>1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.所以当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，所以loga(ax1－1)<loga(ax2－1)．所以f(x1)<f(x2)．故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．综上知，函数f(x)在定义域上递增．1．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.解析：选A.当0<a<1时，函数f(x)在区间上是减函数，所以loga>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是.2．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n＋m＝________．解析：根据已知函数f(x)＝|log2x|的图象知，0<m<1<n，所以0<m2<m<1，根据函数图像易知，当x＝m2时取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0<m<1，解得m＝.再结合f(m)＝f(n)求得n＝2，所以n＋m＝.答案：3．(2022·浙江高考调研(一))已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．解：(1)由x＋－2>0，得>0.因为x>0，所以x2－2x＋a>0.当a>1时，定义域为(0，＋∞)；当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；4\n当0<a<1时，定义域为(0，1－)∪(1＋，＋∞)．(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max. 而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.4．(2022·许昌调研)设函数f(x)＝log2(2x＋1)，g(x)＝log2(2x－1)，若关于x的函数F(x)＝g(x)－f(x)－m在[1，2]上有零点，求m的取值范围．解：法一：令F(x)＝0，即g(x)－f(x)－m＝0.所以m＝g(x)－f(x)＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)＝log2＝log2.因为1≤x≤2，所以3≤2x＋1≤5.所以≤≤，≤1－≤.所以log2≤log2≤log2，即log2≤m≤log2.所以m的取值范围是.法二：log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)，所以log2(2x－1)＝log2[2m·(2x＋1)]．所以2x－1＝2m·(2x＋1)．所以2x(1－2m)＝2m＋1，2x＝.即x＝log2.因为1≤x≤2，所以1≤log2≤2.所以2≤≤4，解得≤2m≤，即log2≤m≤log2.所以m的取值范围是.4
