第二章函数的概念及基本初等函数(Ⅰ)第三节函数的奇偶性及周期性A级·基础过关|固根基|1.下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是()A．y＝exB．y＝tanx2＋xC．y＝x3－xD．y＝ln2－x解析：选D函数y＝ex不是奇函数，不满足题意；函数y＝tanx是奇函数，但在整个定33－，义域内不是增函数，不满足题意；函数y＝x3－x是奇函数，当x∈33时，y′＝3x2－1<0，2＋x2＋x为减函数，不满足题意；函数y＝ln是奇函数，在定义域(－2，2)内，函数t＝＝－12－x2－x42＋x－为增函数，函数y＝lnt也为增函数，故函数y＝ln在定义域内为增函数，满足题x－22－x意．故选D．2．(2019年全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝()A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1解析：选D设x<0，则－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，－x∴f(－x)＝e－1.－x∵f(x)为奇函数，∴－f(x)＝f(－x)＝e－1，－x即f(x)＝－e＋1，故选D．3．(2020届陕西摸底)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，满足f(x)＋2g(x)＝ex，则()A．f(－2)<f(－3)<g(－1)B．g(－1)<f(－3)<f(－2)C．f(－2)<g(－1)<f(－3)D．g(－1)<f(－2)<f(－3)解析：选D因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，满足f(x)＋2g(x)＝ex①，所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.联立①②得\nex＋e－xf（x）＝，f（x）＋2g（x）＝ex，2e－2＋e2e－3＋e3解得ex－e－x所以f(－2)＝>0，f(－3)＝>0，－x22f（x）－2g（x）＝e，g（x）＝，4－1e－eg(－1)＝<0.即f(－3)>f(－2)，又所以g(－1)<f(－2)<f(－3)，故选D．44．(2019届湖南岳阳一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝()A．－2B．－1C．0D．1解析：选B因为奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2018)＝f(504×4＋2)＝f(2)＝－f(0)＝0，f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝－1，则f(2018)＋f(2019)＝0－1＝－1，故选B．5．(2019届山东济宁模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，则f(2019)＝()A．1B．－1C．2D．－2解析：选B∵f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4.∵x∈[0，1]时，f(x)＝2x－m，∵f(0)＝1－m＝0，∴m＝1，∴x∈[0，1]时，f(x)＝2x－1，∴f(2019)＝f(－1＋505×4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.故选B．πππ1x＋－，6．(2019届湖南祁阳二模)已知偶函数f2，当x∈22时，f(x)＝x3＋sinx，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则()A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<bππ1－，解析：选D∵当x∈22时，y＝sinx单调递增，y＝x3也为增函数，∴函数f(x)＝1πππx＋－x＋x＋x3＋sinx也为增函数．∵函数f2为偶函数，∴f2＝f2，f(x)的图象关于直线x\nππ＝对称，∴f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)．∵0<π－3<1<π－2<，22∴f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b，故选D．7．(2019届山东潍坊期中)已知奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝1，则满足|f(x－1)|≤1的x的取值范围是()A．[－1，1]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，3]解析：选B根据题意，得函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－1)＝－1，则函数f(x)在R上单调递增．若|f(x－1)|≤1，则－1≤f(x－1)≤1，即－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，即x的取值范围为[0，2]，故选B．8．(2019届山西长治二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝()A．336B．337C．338D．339解析：选C∵f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1.∵f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝336＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝338.故选C．9．(2019届河南洛阳模拟)设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，若a＋b≥0，则()A．f(a)＋f(b)≤0B．f(a)＋f(b)≥0C．f(a)－f(b)≤0D．f(a)－f(b)≥0解析：选Bf(x)＝x3＋log2322(x＋x＋1)的定义域为R，f(－x)＝－x＋log2(－x＋x＋1)＝－x3－log2＋1)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．易知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故2(x＋x函数f(x)在R上单调递增，由a＋b≥0，得a≥－b，∴f(a)≥f(－b)，得f(a)≥－f(b)，可得f(a)＋f(b)≥0.故选B．10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，若实数a满足logaf(23)>f(－2)，则a的取值范围是()A．(－∞，3)B．(0，3)C．(3，＋∞)D．(1，3)解析：选B∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增，∴f(x)在区\nlogaloga间[0，＋∞)上单调递减．根据函数的对称性，可得f(－2)＝f(2)，∴f(23)>f(2)．∵23>0，loga1f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，∴0<23<2⇒log3a<⇒0<a<3，故选B．211．(2019年北京卷)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．解析：若f(x)＝ex＋ae－x为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即e－x＋aex＝－(ex＋ae－x)，变形可得，a＝－1.函数f(x)＝ex＋ae－x，则f′(x)＝ex－ae－x，若f(x)是R上的增函数，则f′(x)＝ex－ae－x≥0在R上恒成立，变形可得，a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．答案：－1(－∞，0]x12．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝.1－3x(1)求当x<0时，f(x)的解析式；x(2)解不等式f(x)<－.8解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)．x又因为当x>0时，f(x)＝，1－3x－xx所以当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－＝.1－3－x1－3－xxxx(2)因为f(x)<－，∴当x>0时，<－，81－3x811即<－，1－3x811所以>，3x－18所以3x－1<8，解得x<2，所以x∈(0，2)；xx当x<0时，<－，－x1－3811所以>－，－x1－38所以3－x－1>8，所以3－x>32，所以x<－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0，2).B级·素养提升\n|练能力|13.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0，1]上是增函数，则有()113－A．f4<f4<f2113－B．f4<f4<f2131－C．f4<f2<f4131－D．f4<f2<f4解析：选B由题设，知f(x)＝－f(x－2)＝f(2－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又函数f(x)是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f(x)在[0，1]上是增函数，故f(x)在[－1，0]上也是增函数，综上，函数f(x)在[－1，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，3312－又f2＝f2＝f2，1113－所以f4<f4<f2＝f2.故选B．9－x214．已知函数f(x)＝，则函数的奇偶性为()|6－x|－6A．既是奇函数也是偶函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是奇函数不是偶函数D．是偶函数不是奇函数9－x2解析：选C根据题意，对于函数f(x)＝，|6－x|－6必有9－x2≥0且|6－x|－6≠0，解得－3≤x≤3且x≠0，即函数的定义域为{x|－3≤x≤3且x≠0}，关于原点对称，9－x2则函数f(x)＝－，－3≤x≤3且x≠0.x9－x2又f(－x)＝＝－f(x)，则函数是奇函数不是偶函数．故选C．x3e|x－1|－sin（x－1）15．(2020届大同调研)若函数f(x)＝在区间[－3，5]上的最大值、最小e|x－1|值分别为p，q，则p＋q的值为________．3e|x－1|－sin（x－1）sin（x－1）sinx解析：由f(x)＝＝3－，x∈[－3，5]，得f(x＋1)＝3－，e|x－1|e|x－1|e|x|\nsinxx∈[－4，4]，令g(x)＝－，x∈[－4，4]，可得g(x)为奇函数，图象关于原点对称．设g(x)e|x|在[－4，4]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝0.因为f(x)与f(x＋1)的值域相同，即f(x)的最大值与f(x＋1)的最大值相同，f(x)的最小值与f(x＋1)的最小值相同，则p＝M＋3，q＝m＋3，所以p＋q＝6.答案：616．(2019年江苏卷)设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的k（x＋2），0<x≤1，周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0，2]时，f(x)＝1－（x－1）2，g(x)＝1－，1<x≤2，2其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________．解析：作出函数f(x)与g(x)的图象如图，1由图可知，函数f(x)与g(x)＝－(1<x≤2，3<x≤4，5<x≤6，7<x≤8)仅有2个实数根；2要使关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则f(x)＝1－（x－1）2，x∈(0，2]与g(x)＝k(x＋2)，x∈(0，1]的图象有2个不同交点，|3k|2由(1，0)到直线kx－y＋2k＝0的距离为1，得＝1，解得k＝(k>0)，k2＋141∵两点(－2，0)，(1，1)连线的斜率k＝，31212，∴≤k<，即k的取值范围为34.3412，答案：34
