单元质检卷四 三角函数、解三角形(A)(时间:60分钟 满分:76分)一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为π的函数是( )A.y=sinxB.y=cos12xC.y=tan2xD.y=|sinx|2.若f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π23.(2020河南洛阳一中测试)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3,4),则sinα-2017π2=( )A.-45B.-35C.35D.454.(2020天津和平一模,6)已知函数f(x)=sin2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是( )A.函数f(x)的最小正周期是2πB.函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减C.函数f(x)的图象关于x=π16对称D.函数f(x)的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到5.(2020河南高三质检,11)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2,当f(x1)f(x2)=3时,|x1-x2|min=π,f(0)=32,则下列结论正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的图象的一个对称中心为π6,0C.函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=π3D.函数f(x)的图象可以由函数y=3cosωx的图象向右平移π12个单位长度得到6.(2021北京朝阳期中,10)已知奇函数f(x)的定义域为-π2,π2,且f'(x)是f(x)的导函数.若对任意x∈-π2,0,都有f'(x)cosx+f(x)sinx<0,则满足f(θ)<2cosθ·fπ3的θ的取值范围是( )\nA.-π2,π3B.-π2,-π3∪π3,π2C.-π3,π3D.π3,π2二、填空题:本题共2小题,每小题5分,共10分.7.(2020山东烟台一模,13)已知tanα=2,则cos2α+π2= . 8.(2020河北邢台模拟,理15)设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知A=π3,b=1,且(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),则a= . 三、解答题:本题共3小题,共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(12分)已知函数f(x)=cos2x+3sin(π-x)cos(π+x)-12.(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsinC=asinA,求△ABC的面积.10.(12分)(2020福建福州模拟,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设3bsinA=a(2+cosB).(1)求B;(2)若△ABC的面积等于3,求△ABC的周长的最小值.11.\n(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,∠MCN=2π3,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值;(2)若c=3,∠ABC=θ,试用θ表示△ABC的周长,并求周长的最大值.参考答案单元质检卷四 三角函数、解三角形(A)1.D A选项的最小正周期为T=2π1=2π;B选项的最小正周期为T=2π12=4π;C选项的最小正周期为T=π2;D选项,由其图象可知最小正周期为π.故选D.2.A 由于函数f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,所以f4π3=0,即2×4π3+φ=kπ+π2,φ=kπ-13π6(k∈Z).所以|φ|min=π6.3.B 由三角函数的定义可知tanα=43,由题可知α为第一象限角,∴cosα=35,sinα-20172π=sinα-π2=-cosα=-35.4.B 函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin2x+π4,T=2π2=π,故A不正确;由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z,令k=0,则π8≤x≤5π8,故函数f(x)在区间π8,5π8上单调递减,故B正确;x=π16时,y=2sin2×π16+π4≠±2,故C不正确;由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度得到函数f(x)=2sin2x+π2,所以D不正确.故选B.5.D 因为f(x)=3sin(ωx+φ),所以f(x)max=3,又f(x1)f(x2)=3,所以f(x1)=f(x2)=3或f(x1)=f(x2)=-3,因为|x1-x2|min=π,所以f(x)的最小正周期为π,所以ω=2,故A错误;又f(0)=32,所以sinφ=32,又\n|φ|<π2,所以φ=π3,所以f(x)=3sin2x+π3,令2x+π3=kπ(k∈Z),得x=-π6+kπ2(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称中心为-π6+kπ2,0(k∈Z),所以B错误;由2x+π3=π2+kπ(k∈Z),解得x=π12+kπ2(k∈Z),故C错误;y=3cos2x=3sin2x+π2,向右平移π12个来单位长度得y=3sin2x-π12+π2=3sin2x+π3=f(x),故D正确,故选D.6.D 构造函数g(x)=f(x)cosx,则g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos2x,因对任意x∈-π2,0,都有f'(x)cosx+f(x)sinx<0,所以g'(x)<0,即函数g(x)在-π2,0上单调递减.由f(θ)<2cosθ·fπ3,得f(θ)cosθ<f(π3)cosπ3,所以θ>π3,又f(x)的定义域为-π2,π2,则θ∈π3,π2.7.-45 cos2α+π2=-sin2α=-2sinαcosα=-2sinαcosαsin2α+cos2α=-2tanαtan2α+1=-44+1=-45.8.2 因为(sin2A+4sin2B)c=8(sin2B+sin2C-sin2A),所以(a2+4b2)c=8(b2+c2-a2).又因为b=1,所以(a2+4b2)bc=8(b2+c2-a2),a2+4b22=8×b2+c2-a22bc=8cosA=4,即a2+4b22=4,解得a=2.9.解(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx-12=1+cos2x2-32sin2x-12=-sin2x-π6,令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π6≤x≤kπ+π3,k∈Z,∵x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为0,π3和5π6,π.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-π6,∴f(A)=-sin2A-π6=-1,∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<π2,∴-π6<2A-π6<5π6,∴2A-π6=π2,即A=π3.∵bsinC=asinA,∴bc=a2=4,\n∴S△ABC=12bcsinA=3.10.解(1)因为3bsinA=a(2+cosB),由正弦定理得3sinBsinA=sinA(2+cosB).因为A∈(0,π),所以sinA>0,所以3sinB-cosB=2,所以2sinB-π6=2.因为B∈(0,π),所以B-π6=π2,即B=2π3.(2)依题意3ac4=3,即ac=4.所以a+c≥2ac=4,当且仅当a=c=2时取等号.又由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac≥3ac=12,所以b≥23,当且仅当a=c=2时取等号.所以△ABC的周长的最小值为4+23.11.解(1)∵a,b,c依次成等差数列,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2,又∠MCN=2π3,即cosC=-12,由余弦定理可得a2+b2-c22ab=-12,将a=c-4,b=c-2代入,得c2-9c+14=0,解得c=7或c=2.又c>4,∴c=7.(2)在△ABC中,由正弦定理可得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,∴ACsinθ=BCsinπ3-θ=3sin2π3,即AC=2sinθ,BC=2sinπ3-θ.∴△ABC的周长f(θ)=|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sinπ3-θ+3=212sinθ+32cosθ+3=2sinθ+π3+3.又θ∈0,π3,∴π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6时,f(θ)取得最大值2+3.
