课后限时集训(二十五) 同角三角函数的基本关系与诱导公式建议用时：40分钟一、选择题1．(多选)(2020·潍坊月考)下列化简正确的是( )A．tan(π＋1)＝tan1B．＝cosαC．＝tanαD．＝1AB [由诱导公式可得tan(π＋1)＝tan1，故A正确；＝＝cosα，故B正确；＝＝－tanα，故C不正确；＝＝－1，故D不正确．故选AB.]2．cos＝，则sin等于( )A．B．C．－D．－A [sin＝sin＝cos＝.]3．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )A．sinβ＝B．cos(π＋β)＝\nC．tanβ＝D．tanβ＝AC [∵sin(π＋α)＝－sinα＝－，∴sinα＝，若α＋β＝，则β＝－α.A中，sinβ＝sin＝cosα＝±，故A符合条件；B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sinα＝－，故B不符合条件；C中，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故C符合条件；D中，tanβ＝，即sinβ＝cosβ，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故D不符合条件．故选AC.]4．若tanα＝，则sin4α－cos4α的值为( )A．－B．C．D．－D [∵tanα＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－，故选D.]5．(2020·湖南雅礼中学模拟)若sinα＋cosα＝1(0＜α＜π)，则3sinα－cosα＝( )A．0B．1C．－1D．3D [∵sinα＋cosα＝1，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1，∴2sinαcosα＝0.∵0＜α＜π，∴cosα＝0，sinα＝1，∴3sinα－cosα＝3，故选D.]6．(2020·九江二模)已知＝2，则tanα＝( )\nA．－B．C．D．2A [由＝2得sinα＝2＋2cosα，两边平方得sin2α＝4＋8cosα＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cosα＋4cos2α，整理得5cos2α＋8cosα＋3＝0，解得cosα＝－或cosα＝－1(舍去)，∴sinα＝2－2×＝，∴tanα＝＝－，故选A.]二、填空题7．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝________. [因为tanA＝＞0，所以A为锐角，由tanA＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，可求得sinA＝.]8．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．－ [原式＝＝tanα，根据三角函数的定义得tanα＝－.]9．若f(x)＝sin＋1，且f(2020)＝2，则f(2021)＝________.1 [由题意知，f(2020)＝sin(1010π＋α)＋1＝sinα＋1＝2，∴sinα＝1，∵sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝0，\n∴f(2021)＝sin＋1＝sin＋1＝cosα＋1＝1.]三、解答题10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin2α.[解] 由已知得sinα＝2cosα.(1)原式＝＝－.(2)原式＝＝＝.11．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值．[解] (1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)因为cos＝，所以－sinα＝，从而sinα＝－.又α为第三象限角，所以cosα＝－＝－，所以f(α)＝－cosα＝.1．已知sinθ＝，cosθ＝－，若θ是第二象限角，则tanθ的值为( )\nA．－B．2C．－D．－C [由sin2θ＋cos2θ＝1得2＋2＝1，整理得a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4.又θ是第二象限角，∴a＝4.∴sinθ＝，cosθ＝－，∴tanθ＝＝－，故选C.]2．若＋＝，则sinαcosα＝( )A．－B．C．－或1D．或－1A [由＋＝得sinα＋cosα＝sinαcosα.两边平方得1＋2sinαcosα＝3sin2αcos2α，解得sinαcosα＝－或sinαcosα＝1，由题意知－1＜sinα＜1，－1＜cosα＜1，且sinα≠0，cosα≠0，所以sinαcosα≠1，故选A.]3．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0,2π)．(1)求＋的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．[解] (1)由根与系数的关系可知而＋＝＋＝sinθ＋cosθ＝.\n(2)由①两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，将②代入，得m＝.(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，则或∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或θ＝.1.如图，角α和角β的终边垂直，且角α与单位圆的交点坐标为P，则sinβ＝( )A．－B．C．－D．B [由任意角的三角函数的定义可知cosα＝，所以sinβ＝sin＝cosα＝，故选B.]2．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解] 假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，∴sinα＝±.∵α∈，∴α＝±.当α＝时，由②式知cosβ＝，\n又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝，β＝满足条件．
