课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固组1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( )A.sinθ<0,cosθ>0B.sinθ>0,cosθ<0C.sinθ>0,cosθ>0D.sinθ<0,cosθ<02.(2020北京平谷二模,2)若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是( )A.sinα+π2B.cosα+π2C.sin(π+α)D.cos(π+α)3.若tanα=cosα,则1sinα+cos4α的值为( )A.2B.2C.22D.44.(2020辽宁沈阳一中测试)已知2sinα-cosα=0,则sin2α-2sinαcosα的值为( )A.-35B.-125C.35D.1255.(2020浙江杭州学军中学模拟)已知cos31°=a,则sin239°·tan149°的值为( )A.1-a2aB.1-a2C.a2-1aD.-1-a26.(2020河南开封三模,文10,理9)已知A是△ABC的一个内角,且sinA+cosA=a,其中a∈(0,1),则tanα的值可能为( )A.-1B.-12C.12D.-37.(2020河北衡水模拟)已知直线2x-y-1=0的倾斜角为α,则sin2α-2cos2α=( )A.25B.-65C.-45D.-1258.已知cos5π12+α=13,且-π<α<-π2,则cosπ12-α等于( )A.223B.-13C.13D.-2239.(2020山东济宁三模,13)已知tan(π-α)=2,则sinα+cosαsinα-cosα= . 10.已知k∈Z,则sin(kπ-α)cos[(k-1)π-α]sin[(k+1)π+α]cos(kπ+α)的值为 . 综合提升组11.已知角α和β的终边关于直线y=x对称,且β=-π3,则sinα等于( )A.-32B.32C.-12D.1212.已知θ∈π4,π2,则2cosθ+1-2sin(π-θ)cosθ=( )\nA.sinθ+cosθB.sinθ-cosθC.cosθ-sinθD.3cosθ-sinθ13.已知cosπ6-θ=a(|a|≤1),则cos5π6+θ+sin2π3-θ的值是 . 14.已知f(α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α)1+sin2α+cos(3π2+α)-sin2(π2+α)(sinα≠0,且1+2sinα≠0),则f-23π6= . 创新应用组15.(2020河南高三质检,9)若a(sinx+cosx)≤2+sinxcosx对任意x∈0,π2恒成立,则a的最大值为( )A.2B.3C.522D.52416.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=103米,记∠BHE=θ.(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.参考答案课时规范练18 同角三角函数的基本关系及诱导公式1.B ∵sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,sinθ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0,cosθ<0.故选B.2.D 角α的终边在第二象限,则sinα>0,cosα<0.sinα+π2=cosα<0,A不正确;cosα+π2=-sinα<0,B不正确;sin(π+α)=-sinα<0,C不正确;cos(π+α)=-cosα>0,D正确,故选D.3.B 由题知,tanα=cosα,则sinαcosα=cosα,故sinα=cos2α,故1sinα+cos4α=sin2α+cos2αsinα+sin2α=sinα+cos2αsinα+1-cos2α=sinα+sinαsinα+1-sinα=2.4.A 2sinα-cosα=0,∴tanα=12,∴sin2α-2sinαcosα=sin2α-2sinαcosαsin2α+cos2α=tan2α-2tanα1+tan2α=14-11+14=-35.\n5.B sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=1-a2.6.D 由sinA+cosA=a,两边平方得(sinA+cosA)2=a2,即sin2A+cos2A+2sinAcosA=1+2sinAcosA=a2,又因为a∈(0,1),所以2sinAcosA=a2-1<0,因为0<A<π,得到sinA>0,所以cosA<0,又由sinA+cosA=a>0,所以sinA>-cosA>0,则tanA<-1,比较四个选项,只有D正确.故选D.7.A 由题意知tanα=2,所以sin2α-2cos2α=2sinαcosα-2cos2αsin2α+cos2α=2tanα-2tan2α+1=25.8.D ∵cos5π12+α=sinπ12-α=13,又-π<α<-π2,∴7π12<π12-α<13π12,∴cosπ12-α=-1-sin2(π12-α)=-223.9.13 由tan(π-α)=2,得tanα=-2,则sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=-2+1-2-1=13.10.-1 当k=2n(n∈Z)时,原式=sin(2nπ-α)cos[(2n-1)π-α]sin[(2n+1)π+α]cos(2nπ+α)=sin(-α)cos(-π-α)sin(π+α)cosα=-sinα(-cosα)-sinαcosα=-1.当k=2n+1(n∈Z)时,原式=sin[(2n+1)π-α]cos[(2n+1-1)π-α]sin[(2n+1+1)π+α]cos[(2n+1)π+α]=sin(π-α)cosαsinαcos(π+α)=sinαcosαsinα(-cosα)=-1.综上,原式=-1.11.D 终边在直线y=x上的角为kπ+π4(k∈Z),因为角α和β的终边关于直线y=x对称,所以α+β=2kπ+π2(k∈Z).又β=-π3,所以α=2kπ+5π6(k∈Z),即得sinα=12.12.A 因为θ∈π4,π2,则sinθ>cosθ,由同角三角函数的基本关系和诱导公式,可得2cosθ+1-2sin(π-θ)cosθ=2cosθ+(sinθ-cosθ)2=2cosθ+sinθ-cosθ=sinθ+cosθ.故选A.13.0 由题知,cos5π6+θ=cosπ-π6-θ=-cosπ6-θ=-a.sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ=cosπ6-θ=a,\n故cos5π6+θ+sin2π3-θ=0.14.3 ∵f(α)=(-2sinα)(-cosα)+cosα1+sin2α+sinα-cos2α=2sinαcosα+cosα2sin2α+sinα=cosα(1+2sinα)sinα(1+2sinα)=1tanα,∴f-23π6=1tan(-23π6)=1tan(-4π+π6)=1tanπ6=3.15.D 由题意,得a≤2+sinxcosxsinx+cosx,令y=2+sinxcosxsinx+cosx,则a≤ymin,令sinx+cosx=t,则sinxcosx=t2-12,且t∈(1,2].于是y=f(t)=t2+32t=12t+3t,且f(t)在(1,2]上为减函数,所以f(t)min=f(2)=524,所以a≤524,故选D.16.解(1)由题意可得EH=10cosθ,FH=10sinθ,EF=EH2+FH2=10sinθcosθ,由于BE=10tanθ≤103,AF=10tanθ≤103,所以33≤tanθ≤3,故θ∈π6,π3,所以L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ,θ∈π6,π3.(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=t2-12,由于θ∈π6,π3,所以t=2sinθ+π4∈3+12,2,L=10×sinθ+cosθ+1sinθcosθ=20(t+1)t2-1=20t-1.由于L=20-1在区间3+12,2上单调递减,故当t=3+12,即θ=π6或θ=π3时,L取得最大值为20(3+1)米.
