第55课立体几何中的探究性问题1．（2022佛山二模）如图所示四棱锥中，底面，四边形中，，，，.（1）求四棱锥的体积；（2）求证:平面；（3）在棱上是否存在点（异于点），使得∥平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由．【解析】（1）显然四边形为直角梯形，∴．∵底面，∴．(2)∵底面，底面，∴．∵在直角梯形中，，，∴，∴．又∵，∴平面．(3)不存在，下面用反证法证明：假设存在点（异于点），使得∥平面，∵，平面，∴平面，．∵，∴平面∥平面，而平面与平面相交，得出矛盾．5\n2．（2022昌平二模）在正四棱柱中，为中点,为中点.（1）求证:平面；（2）在上是否存在一点,使平面?若存在，请确定点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.证明：（1）在正四棱柱中，取中点,连结,如图：∴且.∴四边形是平行四边形.∴.∵，∴四边形是平行四边形，∴.∵为中点，∴.∴四边形是平行四边形.∴，∴.∵,，∴.（2）当点为的中点时,平面，在正方形中,∴≌.∴.∵.∴.∴.∵,∴,.∴平面.∴在上存在中点,使得平面.5\n3．（2022朝阳二模）如图，四边形为正方形，平面，，.（1）求证：；（2）若点在线段上，且满足,求证：平面；（3）试判断直线与平面是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.证明：（1）∵，∴与确定平面，∵平面，平面，∴.∵，，∴平面.又平面,∴.（2）过作，垂足为，连结，则.又,∴.又且,∴，且，∴四边形为平行四边形.∴.又平面,平面,∴平面.（3）直线平面.证明如下：由（1）可知，.在四边形中，,,，，∴，则.设,∵,故,则,即.又∵，∴平面.5\n4．（2022茂名二模）如图所示，圆柱的高为，点、、、分别是圆柱下底面圆周上的点，为矩形，是圆柱的母线，，，、、分别是线段、、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求证：//平面；（3）在线段上是否存在一点，使得到平面的距离为？若存在，求出；若不存在，请说明理由．证明（1）∵是圆柱的母线，∴圆柱的底面．∵圆柱的底面，，又∵为矩形，∴，而，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）取中点，连接，∵、、分别是线段、、的中点，∴，∴、、、四点共面．又为中点，∴．又平面，平面，∴//平面．（3）假设在上存在一点，使得到平面的距离为，则以为底，为顶点的三棱锥的高为，连接，则，由（2）知，∴，∴．……11分∵，∴．……12分∵，∴，解得：．∵，∴线段上存在一点，当时，使得到平面的距离为．5\n5
