第48课数列的综合应用1．（2022东城质检）把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如右图所示的数表，第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，则这个数可记为(______)【解析】设数表的第一个数的分母为数列，∵，，，，，…，∴，，…，，∴，∴，∴，∴第行的第个数为，令，且，∴，∴，∴第行的第个数为，∴，解得，∴．2．（2022朝阳二模）在如图所示的数表中，第行第列的数记为，且满足，，则此数表中的第2行第7列的数是；记第3行的数3，5，8，13，22，39，为数列，则数列的通项公式是．第1行1248…第2行2359…第3行35813………【答案】，第1行1248163264…第2行2359173365…【解析】直接写出前两行，由上数表可知第2行第7列的数是．5\n∵第3行的数3，5，8，13，22，39，为数列，∴，，，，，…∴，，，…，，∴∴，∴．3．（2022江门一模）某学校每星期一供应1000名学生、两种菜。调查表明，凡在这星期一选种菜的，下星期一会有改选种菜；而选种菜的，下星期一会有改选种菜．设第个星期一选、两种菜分别有、名学生．（1）若，求、；（2）求，并说明随着时间推移，选A种菜的学生将稳定在名附近．【解析】（1），．（2），，．∴,∴是以为首项，为公比的等比数列,,,随着时间推移，即越来越大时，趋于,∴趋于，趋于并稳定在附近．5\n4．（2022山东诸城质检）某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.（1）求出的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；（3）求…的值.【解析】（1）．（2），，，，由上式规律，得出，上述个等式相加可得：∴，∴．（3）当时，．∴．5\n5．设是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列．(1)证明：为等比数列；（2）设，求数列的前项和．【解析】将直线的倾斜角记为，则有，设的圆心为，则由题意可知，得；同理，∴，将代入，解得，∴为公比的等比数列．（2）∵，，∴，从而，记，则有，①，②①②得∴．5\n6（2022佛山一模）设，圆：与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为．（1）用表示和；（2）若数列满足：．①求常数的值使数列成等比数列；②比较与的大小．【解析】(1)与圆交于点,则,由题可知，点的坐标为，从而直线的方程为,由点在直线上得:,将，代入化简得:．(2)由得：，又，故，∴，①，．令得：．由等式对任意成立得：，解得：或．故当时，数列成公比为的等比数列；当时，数列成公比为2的等比数列．②由①知：，当时，；当时，．事实上,令,则，故是增函数,∴，，即．5
