黑龙江省大庆市林甸县第一中学2022年高考数学专题复习：发掘对称性快速巧求解数学中存在着大量对称的形与式，不过有些问题中的对称性是比较隐蔽的，在求解相关的问题时，如果能够注意寻觅和发掘或通过变形构造出对称关系，则可以收到事半功倍的效果，达到快速简捷求解的目的。下面举例说明，相信会对同学们有所启迪。例1设A、B两点是圆心都在直线3x-2y+5=0上的两个相交圆的交点，并且点A的坐标为（-4,5），求点B的坐标。解析乍一看本题似乎缺少条件，无法求解。如果我们仔细分析就会发现题中隐含的对称性，这样问题便可迅速获解。如图1，设B点的坐标为(x,y)，则由题设可知AB垂直于直线3x-2y+5=0。又点A的坐标为(-4,5)，所以直线AB的方程为y-5=。解方程组得直线AB与直线3x-2y+5=0的交点坐标为（,）。由对称性知，（,）为AB的中点，于是可得B点的坐标为（,）。例2四边形ABCD面积为S，求证：S≤。解析三角形面积不大于其任意两边之积的一半，观察不等式的右边可想到，如果能够把AB、AD（或BC、CD）调换位置，则结论很容易证明。如图2，以BD的中垂线为轴作△BCD的对称图形△BC1D，则有：≥。例3设有一直角QOP，试在OP边上求一点A，在OQ边上求一点B，在直角内求一点C，使BC+CA等于定长L，且使四边形ACBO的面积最大。简析如图3，显然难于直接确定点的位置，若利用对称性，把四边形ACBO补成一个八边形，其周长为4L，是定值。由对称性知，要使四边形ACBO的面积最大，必须使此八边形面积最大。由命题“周长一定的凸n边形中，以正n边形的面积为最大”，可知当八边形为正八边形时，四边形ACBO的面积最大。此时点C为正八边形的一个顶点，正八边形的边长为，易得正八边形外接圆半径为：，于是据此可确定A、C、B的位置。求解过程请同学们完成。2\n③②①例4方程组解的个数为（）A.1B.2C.3D.6解析显然方程组关于x、y、z对称，其结果也应关于x、y、z对称。若方程组只有一组解。则必有x=y=z，此时由①有x=y=z=2，代入②、③均不成立，故选项A错误。若方程组有两组解，则与方程组关于x、y、z具有对称性矛盾，故选项B错误。若方程组有三组解，不妨设x=y≠z，此时由①可得z=6-2x，代入②得3x2-12x+13=0。但由于△=-12<0，此方程组无解，故选项C错误。综上所述知，本题应选C。例5对a∈R，方程x4+ax2+3x2+ax=1的一切根都是虚数，且它们的模皆不为1，求实数a。解析由于方程的系数关于中间项对称相等，进一步观察发现，利用x与的对称性构造新的对称式，同时可使方程变为一元二次型的方程。因为x∈R，所以x≠0，方程两边同除以x2，得x2+ax+3+=0，即由于|x|≠1，所以x+R，于是应有△=a2–4<0，即-2<a<2。点评从上述解答过程可以看出，整个过程处处体现了一种对称之美。例6已知四面体的一个顶点A，从其它顶点与棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）种。A.30B.33C.46D.39解析如图4，显然3个侧面内满足题设条件的取法数相同，即具有对称性。在面ABC内，A以外的任意5点取3点均与A在同一平面内，有取法。又AC、BD、AB、CD、AD与BC的中点中的任意4点均共面，故共有3+3×1=33种。故应选B。例7A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同的站法有（）种。A.24B.60C.90D.120解析因为A站在B右边和B站在A右边的情况的机会完全相等，由这种对称原理知，所求的排列数为=60中，故应选B。2
