黑龙江省大庆市林甸县第一中学2022年高考数学专题复习：函数值域求法小结在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数的值域。解：∵∴显然函数的值域是：例2.求函数的值域。解：∵故函数的值域是：3.判别式法例4.求函数的值域。12\n解：原函数化为关于x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为例5.求函数的值域。（亦可用求导）解：两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。12\n注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数y=值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数的值域。解：由原函数式可得：∵∴解得：故所求函数的值域为12\n例8.求函数的值域。（也可用数型结合）解：由原函数式可得：，可化为：y3)x(sin1y2=b++即1yy3)x(sin2+=b+∵∴即解得：故函数的值域为6.函数单调性法例9.求函数的值域。解：令则在[2，10]上都是增函数所以在[2，10]上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：12\n7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数的值域。解：令，则∵又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为例12.求函数的值域。解：因即故可令∴12\n∵故所求函数的值域为例14.求函数，的值域。解：令，则12\n由且可得：∴当时，，当时，故所求函数的值域为。例15.求函数的值域。解：由，可得故可令∵当时，当时，故所求函数的值域为：8.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数的值域。12\n解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例17.求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，故所求函数的值域为例18.求函数的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成12\n，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。9.不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19.求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：12\n例20.求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：（2022·四川高考文科·Ｔ11）设，则的最小值是（）.（A）1（B）2（C）3（D）410.一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例21.求函数的值域。解：∵定义域为由得12\n故或解得故函数的值域为11.多种方法综合运用例22.求函数的值域。解：令，则（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例23.求函数的值域。（求导法比较烦）解：令，则12\n∴当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12
