黑龙江省大庆市林甸县第一中学2022年高考数学专题复习：创新题日面纱一、考点透视近年来，随着高考形势的不断变化，对考生的创新意识和创新能力的要求逐渐提高，每年在高考试题中都相继推出一些背景新颖、构思精巧、情境别致，具有相当深度和明确导向的创新题型，使高考数学题充满活力和魅力，它要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”，只要我们相信一个原则：千变万变，方法不变．创新题只是对以前的问题稍加“化妆”，以一个崭新面目出现在我们面前，使我们乍看其脱俗超群，但只要我们努力揭开题目的“面纱”，便可识别其“真面目”，仍可用旧知新解．二、考点例析创新方向一：定义“新概念”或“新运算”型新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．例1为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011分析：按题中新定义的新运算法则将给出数据信息进行转化．解：C选项原信息为011，则，，所以应该接收信息10110．故选C．评注：在给出新定义或新运算问题中要摒弃原有的运算法则，以避免造成运算的紊乱．面对这类问题只需按给定的法则进行运算即可，此类问题虽然给出的条件信息比较多，而其实质却很简单，只需用简单的数学知识即可解决．趁热打铁：（2022北京）设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.解：符合题意的集合是：共6个.故应填6.创新方向二：类比型14\n给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的．类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三，触类旁通的应变．例2先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知R，，求证，证明：构造函数，.因为对一切R，恒有≥，所以≤,从而得，（1）若R，，请写出上述结论的推广式；（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明．分析：这是类比问题的推广，所以只需依照条件中给出的结论的结构特征及证明方法即可得到推广结论及其证明．（1）解：若R，，求证：；评注：对于某些不等式证明题，我们若能根据其条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数：，由≥，得≤，就可以使一些用一般方法处理较繁的问题，获得简捷、明快的证明．构造法解题的最大特点是调整思维视角，在更广阔的背景下考察问题中所涉及的代数、几何元素及其相互关系．所以应用构造法解题的关键有：(1)要有明确的方向，即为何构造；(2)要弄清条件的本质特点，以便进行逻辑组合．趁热打铁：（浙江）设等差数列的前项和为，则，，，14\n成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．解：对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列．应填创新方向三：高等数学与初等数学的衔接型将高等数学问题下放，用初等方法来解决高等与初等数学的衔接问题，这是近年高考中的一个特点．例3定义如下运算：其中N*）．现有个正数的数表排成行列如下：（这里用表示位于第行第列的一个正数，N*），其中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，且各个等比数列的公比相同，若，，．求的表达式（用，表示）；分析：本题数列中的每一项都有两个下标，在中每横行的数成等差数列，每竖列的数成等比数列，要明确这一信息与下标间的关系，并利用这一信息源得出的表达式．解：（1）每一行的数成等差数列，∴，，成等差数列．∴，14\n∴，又每一列的数成等比数列，故，∵，∴，且，∴．∴，∴．评注：新背景等比数列题型往往利用新定义或新概念将等比数列的知识点交汇于其中，该题型是高考命题的新动向．本题是等比数列与“行列式”相交汇的新背景题型，由于新型的定义式的出现，导致该题型又多了几分神秘的色彩，为我们接受新型问题开阔了眼界．趁热打铁：（四川）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：①设是平面上的线性变换，则②对设，则是平面上的线性变换；③若是平面上的单位向量，对设，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，，若共线，则也共线。其中真命题是（写出所有真命题的序号）14\n创新方向四：信息迁移型信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．例4如图是集合中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（）A.B.C.D.分析：圆的半径为，圆心在半圆上，“水滴”共由图中的三部分组成，其中，的面积都为半径为、圆心角为的扇形面积减去一个直角三角形的面积，为半径为的半圆的面积．解：图中的“水滴”面积共由三部分组成，即，，，其中，而，，所以“水滴”部分的平面面积为．故选C．评注：此题问题背景比较新颖、别致，问题设计耐人寻味，但用的知识却很传统，所以只要细心剖析题意，用所学知识便不难使问题获解．趁热打铁：规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文的个字母（不论大小写）依次对应这个正整数，见表格：123456789101112131415161718192021222324252614\n并给你一个变换公式：将明文转换成密文，若→，则变为；→，则变成，按上述规定，若将某明文译成的密文是，你能否得出原来的明文？解：字母在密码表中对应的数字是，或，则，但原明文中只对应个整数，从而，所以，因此的明文是．同理可求→，→，→．因此的明文是．创新方向五：探索探究型探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题．例5歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如（，为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：＝＋＋写出你对此问题的研究结论：（用数学符号表示）．分析：可以分解成无数个无穷递缩等比数列组成，所以只需利用无穷递缩等比数列求和公式求解，然后利用裂项相消法便可得出相关结论．解：．14\n所以．评注：本题给出背景看似深奥，其实只需透过表面看其本质，便可将“不可能”的问题转化为非常熟悉的问题进行求解．趁热打铁：已知定理：“若为常数，满足，则函数的图像关于点中心对称”．设函数，定义域为A．（Ⅰ）试证明的图像关于点成中心对称；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）对于给定的，设计构造过程：,，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求的值．解：（Ⅰ）∵，∴，由已知定理得，的图像关于点成中心对称；（Ⅱ）首先证明在上是增函数，为此只要证明在上是增函数．设，则，∴在上是增函数．再由在上是增函数得，当时，，即；（Ⅲ）∵构造过程可以无限进行下去，∴对任意恒成立，∴方程无解，即方程无解或有唯一解，∴或，由此得到．创新方向六：知识迁移型考试的目的不仅要把贮存于大脑之中的知识搬出来，而且要应用知识去解决不同情境的问题，也就是考查能力，所以考查知识迁移的能力是今后高考命题的一个重要方向．学科综合以数学为依托，联系、综合其他学科知识和方法考查考生的综合素质，这种联系和综合必须与中学生的年龄特征、社会阅历相吻合，学科特征要较明显，试题材料要较简单，容易从中提取有效的信息进行分析，在有关学科知识、方法之间的迁移比较自然．例6（2022广东）根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：14\n对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图.（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；（Ⅲ）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.（结果用分数表示．已知，，，）分析：本题的实质是统计与概率问题，要能准确从频率分布直方图提取有效信息点，归结为熟知的问题解决。解：（Ⅰ）由图可知，解得；（Ⅱ）；（Ⅲ）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.评注:本题以世界上最关注的空气质量的衡量标准“空气质量指数”为背景设计的一个统计与概率问题，该题的背景新颖，以热门的焦点问题为载体考查了统计与概率．此题的背景都为学生所熟悉，所以解决该题只需将问题归结为统计与概率问题，便不难使问题获解．此题启示我们，除了掌握好书本知识之外，还要增加自己的阅历，特别对社会的焦14\n点问题要特别关注，并能将社会经济问题、政治问题和其他学科的相关问题迁移为熟知的数学知识进行解决．趁热打铁：（2022安徽）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数就是一个随机变量.写出的分布列(不要求写出计算过程),并求的均值（即数学期望）.解：随机变量的分布列是123的均值为附：的分布列的一种求法共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：①②③④⑤⑥A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。三、跟踪训练1．设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．2．设，．定义一种向量积14\n．已知，点在的图象上运动，点在的图象上运动，且满足(其中为坐标原点)，则的最大值及最小正周期分别为()A． B． C． D．3．（2022广东）2022年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A.36种B.12种C.18种D.48种4．(2022山东)设，满足约束条件，若目标函数的值是最大值为，则的最小值为()A．B．C．D．45．（2022北京）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线上的所有点都是“点”B．直线上仅有有限个点是“点”C．直线上的所有点都不是“点”D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”6．已知直线与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（）A．60条B．66条C．72条D．78条7．（2022．安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为．如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动．若其中,则的最大值是________．14\n8．将全体正整数排成一个三角形数阵：1…………………………第1行2 3……………………第2行4 5 6………………第3行7 8 9 10…………第4行11 12 13 14 15……第5行………………按照以上排列的规律，从左向右记第行的第个数为，，我们称为三角数，现将所有的三角数按从小到大的顺序排成一三角数列，则满足等式的是三角数列中的第个．9．已知方程的个根组成一个首项为的等比数列，则．10．若函数在处满足关系⑴在处连续⑵在处的导数不存在，就称是函数的一个“折点”．下列关于“折点”的四个命题①是的折点；②是的折点；③是的折点；④是的折点．其中正确命题的序号是．11．（江西）某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令表示该公司的资助总额．(Ⅰ)写出的分布列；(Ⅱ)求数学期望．12．（2022上海）已知函数的反函数．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”．（Ⅰ）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；14\n（Ⅱ）求所有满足“2和性质”的一次函数；（Ⅲ）设函数对任何，满足“积性质”．求的表达式．2．C；由已知题意知：，所以有，令，则，所以．则的最大值及最小正周期分别为．3．A；分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种.6．C；当，时，圆上横、纵坐标均为整数的点有、、，依圆的对称性知圆上共有个点横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有条，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线14\n不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有条．7．；设，，即，∴．8．；由排列规律知，则易得，又．∴舍．12．解：（Ⅰ）函数的反函数是∴．而，其反函数为，故函数不满足“1和性质”．（Ⅱ）设函数R）满足“2和性质”，．∴R），∴．而R），得反函数．14\n由“2和性质”定义可知=对R恒成立，∴R，即所求一次函数为R）．（Ⅲ）设，，且点在图像上，则在函数图象上，故，可得，令，则．∴，即．综上所述，，此时，其反函数就是，而，故与互为反函数．14
