2022-2022年高考数学（北京卷）试题分类解析作为北京进入新课改后第一年高考，今年的数学试题很好的完成了由老教材到新课改的过度。1、风格亲切，考生不意外。对这份题，考生可能感觉似曾相识，与此前的模拟练习很类似，可以说是练什么就考什么。这也正说明出题人与教师、学生的目的是一致的，最终是让学生掌握根本知识，而不是找学生毛病。2、平稳中有创新。20个题严格依照考试说明的要求，考察主要知识、根本方法。保持了北京卷的一贯特点：关注考生的探索意识和动手能力。如第14、第20题等，情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。3、敢于探索，创新力度大。尽管今年是北京新课程第一年高考，但试题并没有一味求稳，依据新课程的要求，大胆取舍，甚至一步到位，创新力度出乎多数人意料。其中倒数第2题给人印象尤其深刻，题目新颖不落俗套，学生平时常用的方法不能解决了。但问题不是偏了、怪了，而是回归到解析几何最本质的问题：代数方法研究几何问题。4、这份试卷比平时的模拟练习难度要高，阅读量大，计算量大，难度比去年高考要高一点。试卷梯度明显，入手容易，但真正完全解决，还需要学生有扎实的根底和顽强的意志。选择题填空题一、集合与不等式2022-⑴集合，那么=（）(A){1,2}(B){0,1,2}(C){1,2,3}(D){0,1,2,3}2022-1．设集合，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题主要考察集合的根本运算以及简单的不等式的解法.属于根底知识、根本运算的考察.∵，38/38\n∴，应选A.2022-1．假设集合，，那么集合等于（）A．B．3－2－1Ox4C．D．【答案】D【解析】如右图所示【高考考点】不等式解集的运算，2022-10．不等式的解集是__________．【答案】【解析】【高考考点】分式不等式的解法【易错提醒】无视不等式的根本性质，直接去分母求解二、复数、二项式定理2022-⑵在复平面内，复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是（A）4+8i(B)8+2i（C）2+4i(D)4+i(2)答案C【命题意图】此题考察复平面的根本知识及中点坐标公式.求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进展相互转化.【解析】两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(-2,3)，那么其中点的坐标为C(2,4)，故其对应的复数为2+4i.2022-3．假设为有理数），那么（）38/38\nA．33B．29C．23D．19【答案】B.w【解析】此题主要考察二项式定理及其展开式.属于根底知识、根本运算的考察.∵，由已知，得，∴.应选B.2022-12．的展开式中常数项为_________；各项系数之和为__________．（用数字作答）【答案】10，32【解析】∵2×3＝3×2，∴展开式的第三项为常数项为；又令x＝1，得即为各项的系数和三、排列组合，概率，统计2022-5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【答案】C.w【解析】此题主要考察排列组合知识以及分步计数原理知识.属于根底知识、根本运算的考察.2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有（个）.应选C.38/38\n2022-⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，那么b>a的概率是（A）(B)（C）(D)2022-（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a=。假设要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，那么从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。所以在身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为人.四、向量2022-⑷假设a,b是非零向量，且，，那么函数是38/38\n（A）一次函数且是奇函数（B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数2022-2．已知向量，如果，那么A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向【答案】D.w【解析】.k.s.5.u.c此题主要考察向量的共线（平行）、向量的加减法.属于根底知识、根本运算的考察.∵a，b，假设，那么cab，dab，显然，a与b不平行，排除A、B.假设，那么cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，应选D2022-11．已知向量与的夹角为，且，那么的值为___________．【答案】－8【解析】【高考考点】向量的数量积公式38/38\n五、函数及其性质2022-2．假设，那么（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，【高考考点】对数函数的性质及图象2022-(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④.k.s.5.u.c2022-4．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度38/38\n【答案】C.w【解析】此题主要考察函数图象的平移变换.属于根底知识、根本运算的考察.A．，B．，C．，D．.故应选C.2022-12．已知函数假设，那么..w.w.k.s.5【答案】.w【解析】5.u.c此题主要考察分段函数和简单的已知函数值求的值.属于根底知识、根本运算的考察.由，无解，故应填.2022-5．函数的反函数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，∵，∴移项并换号得；又因原函数的值域是，∴选B【高考考点】反函数的求法【易错提醒】一是要注意利用原函数的定义域去判定在逆运算的过程中根号前面的符号，二是用原函数的值域作为反函数的定义域，38/38\n2022-14．已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是___________．【答案】②【解析】是偶函数且在是减函数，在是增函数，所以①、③不成立，②恒成立.【高考考点】函数的奇偶性单调性的判定及应用六、三角函数2022-（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）；（B）（C）（D）7.答案A【命题意图】此题考察了三角面积公式的应用和余弦定理的应用2022-6．“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A38/38\n.w【解析】此题主要考察.k此题主要考察三角函数的根本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于根底知识、根本运算的考察.当时，，反之，当时，有，或，故应选A.2022-9．假设，那么.【答案】【解析】此题主要考察简单的三角函数的运算。属于根底知识、根本运算的考察。由已知，在第三象限，∴，∴应填.2022-（10）在中。假设，，，那么a=。2022-4．已知中，，，，那么角等于（）A．B．C．D．【答案】C38/38\n【解析】由正弦定理得且∠A＜120°，∴A＝45°【高考考点】正弦定理的应用2022-9．假设角的终边经过点，那么的值为__________．【答案】【解析】【高考考点】正切函数的定义，二倍角公式七、数列2022-10．假设数列满足：，那么；前8项的和.（用数字作答）【答案】16255.w【解析】此题主要考察简单的递推数列以及数列的求和问题.m属于根底知识、根本运算的考察.，易知，∴应填255.2022-7．已知等差数列中，，，假设，那么数列的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．186【答案】C【解析】由所以且∴【高考考点】等差数列的判定及等差数列的通项公式、前n项和公式八、立体几何38/38\n2022-（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，那么该集合体的俯视图为：2022-7．假设正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，那么到底面ABCD的距离为()A．B．1C．D．【答案】D.w【解析】.k此题主要考察正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.属于根底知识、根本运算的考察.依题意，，38/38\n，应选D.2022-（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，假设EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，那么三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关；（B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关；（D）与y有关，与x无关；九、框图2022-（9）已知函数右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写；②处应填写。十、线性规划38/38\n2022-（11）假设点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3表示的平面区域内，那么m=。2022-11．假设实数满足那么的最大值为.【答案】9【解析】.s.5.u此题主要考察线性规划方面的根底知.属于根底知识、根本运算的考察.如图，当时，为最大值.故应填9.2022-6．假设实数满足那么的最小值是（）OABA．0B．C．1D．2【答案】A【解析】解出可行域的顶点O(0，0)、A（（0，1）、B（，带入验证知，目标函数过O点取得最小值。【高考考点】:线性规划十一、解析几何38/38\n2022-3．“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】双曲线的准线方程为，但当双曲线方程是时，其准线方程也为，【高考考点】双曲线的性质，充要条件的判定2022-（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。2022-13．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，假设，那么；的大小为.【答案】.w【解析】u.c此题主要考察椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于根底知识、根本运算的考察.∵，38/38\n∴，∴，又，∴，又由余弦定理，得，∴，故应填.十二、导数2022-13．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，那么；2BCAyx1O34561234函数在处的导数．【答案】2，－2【解析】由函数图象知，，又当时，∴【高考考点】:函数的图像，导数的求法。十三、创新题2022-（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，那么的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。38/38\n说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。2022-8．设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，假设集合，那么集合S表示的平面区域是()A．三角形区域B．四边形区域C．五边形区域D．六边形区域【答案】D【解析】此题主要考察集合与平面几何根底知识..5.u.c.o.此题主要考察阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考察学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.38/38\n大光明如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，即点P可以是点A.2022-14．设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.【答案】6【解析】此题主要考察阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考察学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型.什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素.故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：共6个.故应填6.2022-8．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体外表相交于．设，，那么函数的图象大致是（）ABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O38/38\n【解析】设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线的中点时，函数取得最大值，所以排除A、C；又，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为,那么是一次函数排除C,应选B.事实上有【高考考点】函数与立体几何的交汇解答题一、三角函数2022-（15）（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值38/38\n2022-15．（本小题共12分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.【解析】此题主要考察特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等根底知识，主要考察根本运算能力．（Ⅰ）∵，∴函数的最小正周期为.（Ⅱ）由，∴，∴在区间上的最大值为1，最小值为.38/38\n2022-15．（本小题共13分）已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）．因为函数的最小正周期为，且，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．因为，所以，所以．因此，即的取值范围为．【高考考点】:三角函数式恒等变形，三角函数的值域。【易错提醒】:公式的记忆，范围确实定，符号确实定。【备考提示】:在高考题中，易、中、难题的比例一般是4∶4∶2，此题属于容易题，要注意不要失分二、数列38/38\n2022-（16）（本小题共13分）已知为等差数列，且，。（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）假设等差数列满足，，求的前n项和公式⒃答案（共13分）2022-20．（本小题共13分）设数列的通项公式为.数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）假设，求；（Ⅱ）假设，求数列的前2m项和公式；38/38\n（Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】此题主要考察数列的概念、数列的根本性质，考察运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．此题是数列与不等式综合的较难层次题.（Ⅰ）由题意，得，解，得.∴成立的所有n中的最小正整数为7，即.（Ⅱ）由题意，得，对于正整数m，由，得.根据的定义可知当时，；当时，.∴.（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得.∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m都有，即对任意的正整数m都成立.38/38\n当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾！当，即时，得，解得.（经检验符合题意）∴存在p和q，使得；p和q的取值范围分别是，.2022-20．（本小题共13分）数列满足，（），是常数．（Ⅰ）当时，求及的值；（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？假设可能，求出它的通项公式；假设不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．【解析】解：（Ⅰ）由于，且．所以当时，得，故．从而．（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，得，，．假设存在，使为等差数列，那么，即，解得．于是，．38/38\n这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．所以由及可知，假设为偶数，那么，从而当时，；假设为奇数，那么，从而当时．因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，记，那么满足．故的取值范围是．【高考考点】递推数列，等差数列的判定及通项公式；数列与不等式的交汇。【备考提示】作为压轴题，往往是综合性较强，深难度较高，因此，在解压轴题时，要注意分段得分、分步得分、跳步得分。要学会和敢于取舍三、立体几何2022-（17）（本小题共13分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;38/38\n2022-16．（本小题共14分）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.38/38\n（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解法1】此题主要考察直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等根底知识，考察空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE//PD，，又∵，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设那么，（Ⅰ）∵，∴，∴AC⊥DP，AC⊥BD，38/38\n∴AC⊥平面PDB，∴平面.（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，设，那么，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，∵，∴，∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.2022-16．（本小题共14分）ACBP如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小．【解析】解法一：（Ⅰ）取中点，连结．ACBDP，．，．，平面．平面，．（Ⅱ），，．ACBEP又，38/38\n．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小为．解法二：（Ⅰ），，．又，．ACBPzxyE，平面．平面，．（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．那么．设．，，．取中点，连结．，，，．38/38\n是二面角的平面角．，，，．二面角的大小为．【高考考点】:直线与直线的垂直，二面角，【易错提醒】:二面角的平面角找不到，四、概率2022-17．（本小题共13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率【解析】此题主要考察随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的根底知识，考察运用概率知识解决实际问题的能力.（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.（Ⅱ）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min为事件B，这名学生在上学路上遇到次红灯的事件.那么由题意，得，38/38\n.由于事件B等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，∴事件B的概率为.2022-18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位效劳，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位效劳的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率．【解析】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位效劳为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位效劳的概率是．（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位效劳为事件，那么，所以，甲、乙两人不在同一岗位效劳的概率是．【高考考点】概率【易错提醒】:总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C混淆为A五、导数2022-(18)（本小题共14分）设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；38/38\n（Ⅱ）假设在无极值点，求a的取值范围。2022-18．（本小题共14分）设函数.（Ⅰ）假设曲线在点处与直线相切，求的值；38/38\n（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.【解析】此题主要考察利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等根底知识，考察综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，∴（Ⅱ）∵,当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.2022-17．（本小题共13分）已知函数，且是奇函数．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的单调区间．【解析】解：（Ⅰ）因为函数为奇函数，所以，对任意的，，即．又38/38\n所以．所以解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以．当时，由得．变化时，的变化情况如下表：00所以，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．当时，，所以函数在上单调递增．【高考考点】函数的奇偶性，利用导数求函数的单调区间的方法。【易错提醒】不知道将b作为已知常数对待，硬要去求b六、解析几何2022-（19）（本小题共14分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）假设圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。（19）答案（共14分）38/38\n解：（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为19.【命题意图】此题考察了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题.问题的设置由浅入深，符合学生的思维能力的生成过程，问题的设置也兼顾考察了应用代数的思想解决几何问题的能力.38/38\n【点评】圆锥曲线问题是每年的必考题型，其试题的难度会有所增加，但是其试题一般都是有梯度的，且此类问题的设置时基于对根底知识、根本能力的考察根底上能力的拔高.求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解，故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线的标准方程、参数关系、根本方法、基此题型的掌握和熟练.2022-19．（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值【解析】此题主要考察双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考察曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考察推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，由得（判别式）,∴,∵点在圆上，38/38\n∴，∴.2022-19．（本小题共14分）已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．【解析】解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为．设两点坐标分别为．由得．所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．（Ⅱ）设所在直线的方程为，由得．因为在椭圆上，所以．设两点坐标分别为，那么，，所以．38/38\n又因为的长等于点到直线的距离，即．所以．所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为．【高考考点】直线与圆锥曲线的位置关系【易错提醒】解析几何的综合题在高考中的“综合程度”往往比较高，且计算量常常较大，因此平时复习时要注意其深难度，同时注意加强计算能力的培养七、创新题2022-（20）（本小题共13分）已知集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为（Ⅰ）当n=5时，设，求，；（Ⅱ）证明：，且;(Ⅲ)证明：三个数中至少有一个是偶数(20)答案(共13分)38/38\n（Ⅰ）解：=（1,0,1,0,1）设是使成立的的个数。那么38/38
