2022年教师命题比赛数学科试题命题教师2022.5.16一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项符合要求的．1．以下四个函数中，在（0，1）上为增函数的是A．B．C．D．2．如果复数为纯虚数，那么实数的值为A．－2B．1C．2D．1或－23．已知，那么A、B、C三点共线的充要条件为A．B．C．D．4．以以下图是2022年在郑州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A．，B．，C．，D．，5．已知函数的反函数满足，那么的最小值为A．1B．C．D．6．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为A．B.C.D.7．两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且那么双曲线的离心率为A．B．C．D．8．已知，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为，向区域上随机投一点A，点A落在区域内的概率为，假设，那么实数的取值范围为9/9\nA．B． C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分．（一）必做题（9——12题）9．在的展开式中，的系数是.（用数字作答）10．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，那么向上的数之积为0的概率.11．如图，该程序运行后输出的结果为.12．已知点满足条件的最大值为8，那么.（二）选做题（13——15题，考生只能从中选作2题）13．(坐标系与参数方程选做题)（坐标系与参数方程选做题）两直线的位置关系是＿＿＿＿＿＿(判断垂直或平行或斜交)14．(不等式选讲选做题)不等式对于一非零实数x均成立，那么实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿15．(几何证明选讲选做题)如以下图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线，那么点A到直线的距离AD为 .三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（12分）设函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；9/9\n（2）当时，的最大值为2，求的值，并求出的对称轴方程．17.（12分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲工程，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙工程，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为.（1）如果把10万元投资甲工程，用表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求的概率分布及；（2）假设把10万元投资投资乙工程的平均收益不低于投资甲工程的平均收益，求的取值范围.18.（14分）已知圆方程为：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，假设，求直线的方程；（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，假设向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.19．（14分）如图，在长方体，点E在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方体的外表爬到点C1，所爬的最短路程为.（1）求证：D1E⊥A1D；（2）求AB的长度；（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角。假设存在，确定点E的位置；假设不存在，请说明理由.20．（14分）已知，，.（1）当时，求的单调区间；（2）求在点处的切线与直线及曲线所围成的封闭图形的面积；（3）是否存在实数，使的极大值为3？假设存在，求出的值，假设不存在，请说明理由.21.（14分）设等差数列前项和满足，且，S2=6；函数，且（1）求A；（2）求数列的通项公式；（3）假设9/9\n中山市华侨中学2022年教师命题比赛数学科试题参考答案及命题意图一．选择题1．选（A）命题意图：考察四类根本函数图象性质；2．选（A）命题意图：考察复数的概念；3．选（C）命题意图：考察向量的共线性质；4．选（D）命题意图：考察茎叶图性质；5．选（C）命题意图：考察指数函数与对数函数的概念和关系；6．选（A）命题意图：考察线性规划及最优解；7．选（B）命题意图：考察双曲线及数列综合知识运用能力；8．选（D）命题意图：考察几何概型及直线与圆位置关系综合知识运用能力；二．填空题9．84；9/9\n命题意图：考察二项式定理运用能力；10．；命题意图：考察排列组合知识运用能力；11．45；命题意图：此题考察程序框图中的循环构造；12．-6；命题意图：此题主要考察线性规划及最优解；考察数学逻辑思维能力。难度高。13．垂直；命题意图：考察极坐标方程的运用；14．4＜a＜6命题意图：考察绝对值不等式的性质及运算；15．命题意图：考察平面几何知识与运算。三．解答题16．解：（1）那么的最小正周期，……………………………4分且当时单调递增．即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．…………6分（2）当时，当，即时．所以．……………9分为的对称轴．……12分9/9\n命题意图：此题考察三角恒等变换、及正弦、余弦函数的性质；考察考生对三角函数的掌握运用能力。17．解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1………1分的分布列为…4分10p==…………6分（2）设表示10万元投资乙工程的收益，那么的分布列为……8分2…………10分依题意要求…11分∴………12分注：只写出扣1分命题意图：此题考察考生的概率知识及运算能力；及随机变量分布列和期望的运算。18．解：（1）①当直线垂直于轴时，那么此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意………1分②假设直线不垂直于轴，设其方程为，即设圆心到此直线的距离为，那么，得…………3分∴，，故所求直线方程为综上所述，所求直线为或…………7分（2）设点的坐标为（），点坐标为那么点坐标是…………9分∵，∴即，…………11分又∵，∴9/9\n∴点的轨迹方程是，…………13分轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。…………14分命题意图：考察向量和椭圆的综合运用能力。考察了考生提取、合并运用信息的能力及考生对解析几何的综合解题能力。19．解一：（1）证明：连结AD1，由长方体的性质可知：AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在平面AD1内的射影。又∵AD=AA1=1，∴AD1⊥A1D∴D1E⊥A1D1（三垂线定理）4分（2）设AB=x，∵四边形ADD1A是正方形，∴小蚂蚁从点A沿长方体的外表爬到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为如图乙的最短路程为………………9分（3）假设存在，平面DEC的法向量，设平面D1EC的法向量，那么…………………12分由题意得：解得：（舍去）………14分.命题意图：此题考察立体几何的距离问题和二面角大小的问题。考察考生的运算能力及空间关系的理解能力。20．解：（1）当.…（1分）……（3分）9/9\n∴的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为：，.……（4分）（2）切线的斜率为，∴切线方程为.……（6分）所求封闭图形面积为.……（8分）（3），……（9分）令.……（10分）列表如下：x(－∞，0)0（0，2－a）2－a(2－a，+∞)－0+0－↘极小↗极大↘由表可知，.……（12分）设，∴上是增函数，……（13分）∴，即，∴不存在实数a，使极大值为3.……（14）命题意图：此题考察导数与定积分应用及不等式。考察考生的运算、推导、判断能力。21．解：（1）由而解得A=1……………………………………2分（2）令当n=1时，a1=S1=2,当n≥2时，an=Sn－Sn-1=n2+n综合之：an=2n…………………………………………6分由题意∴数列{cn+1}是为公比，以为首项的等比数列。………………………9分9/9\n（3）当………………………11分当………13分综合之：………14分命题意图：考察数列性质及分类思想，考察考生综合运用知识的能力。9/9
