把握教材意图提升教学品位--------以《数学归纳法》为例谈谈如何开展有效的数学教学2022年4月，阜阳市成效中学进行高中数学教师招聘，授课的课题是人民教育出版社A版《选修2-2》数学归纳法（第一课时）。评课结束后，笔者深感应聘教师对教材的把握上存在一些问题，有必要给予指出。一、把握教材地位参与招聘的许多教师忽视了教材的地位把握，从而导致了教学的定位不够准确，以至于教学存在随意性、盲目性，达不到高效课堂的目标之目的。教材在《推论与证明》前，已经安排学习等差数列和等比数列，学生初步感受到递推和无限的数学思想，况且在《算法》循环结构的学习中，已有反复使用“循环体”的体会，只不过算法体现的是有限的循环，这为学生理解“假设当时，命题成立，推出当时，命题也成立”奠定了认知基础.本课是本章的第三节，前面刚学过分析法、综合法，而数学归纳法与分析法、综合法同属于直接证明的方法，但教材将数学归纳法单独设为一节，表明其特殊性、重要性，也是学生接受的难点所在.二、熟悉教学环节教材在本节安排的具体环节如下：（1）情境创设，提出问题已知数列，通过前四项的观察，进行归纳，提出猜想，猜想其通项公式为，这个猜想是否正确？能否给出证明？怎样加以证明？（2）认知冲突，另辟蹊径验证的困难在于只能限于有限的验证，势必另辟蹊径.（3）横向联想，启迪智慧多米诺骨牌游戏的情境类比证明方法.（4）探索新知，类比推理多米诺骨牌游戏成功的秘诀在哪里？能使所有骨牌全部倒下的条件是什么？（5）抽象概括，原理构建通过对所有骨牌全部倒下的条件的分析研究，提炼出数学归纳法的概念.（6）应用新知，深化认识用数学归纳法完成2道例题的证明，后面安排2道练习，课后习题安排A组2道题、B组2道题.三、领悟编者意图教材是编著者集体智慧的结晶，是教师教与学生学的主要资源，在教材上出现的任何信息都有他存在的价值.教师的主要任务就是揣摩教材编写者的设计意图，将教材这一“静态文本”背后的“动态故事”恰当地给学生进行解读和“翻译”，结合自己的创造性，搭建学生思维驰骋的平台，给学生留下广阔的思维空间，打造精彩交融的高效课堂.引例的给出，是从学生熟知的数列问题出发，起点低，使所有学生都能顺利接受，理解.但是，无数个命题3\n都成立，再也无法一一验证，这与以往的思维模式截然不同，借此引燃学生的认知冲突，激发学生强烈的求知欲望.再者，引例的给出还为后续的类比推理的准确性得到印证，增加学生对数学归纳法原理的可信度.多米诺骨牌游戏的引入的目的是让学生充分地体验骨牌全部倒下的条件：①第1块骨牌倒下；②如果第1块骨牌倒下必然导致第2块骨牌倒下，以此类推，如果第块骨牌倒下必然导致第块骨牌倒下.有条件的话学校还可以让学生亲自参与，第一个条件学生容易理解，第二个条件一定引导学生自己找出导致下一块骨牌倒下的原因，为学生后续理解数学归纳法原理的第二步奠定良好的基础.教材设计的下一个环节是根据多米诺骨牌游戏中骨牌全部倒下的条件与引例中的猜想的类似性，引导学生进行类比推理，探索猜想的论证的思路，对类比的结论的可信度加以确信，这样一来，为数学归纳法的原理的得出做进一步的铺垫，使学生领悟“当时，成立，推知当时，”完全是经过“，推得；，推得；，推得；…”无数个推理关系抽象与概括出来的，与此同时，为数学归纳法原理中的第二步出现的“假设”埋下伏笔，这个“假设”就是当初始值时，命题成立，是有根基的，也为学生理解数学归纳法“用有限的步骤证明无限的结论”的关键.在抽象提炼得到数学归纳法的原理之前，教材安排的环节是先运用合情推理中的归纳推理提出猜想，这种不完全归纳的结论不一定正确，之后结合多米诺骨牌游戏与问题解决的类似性运用合情推理中的类比推理抽象出一般原理，虽然结论有待于证明，但是，无数个推理关系增强了其结论的正确性的可信度，达到用有限的步骤证明无限的结论.以上各个环节环环相扣，既应用了合情推理中的归纳推理、类比推理，又应用了间接证明，达到运用学生已有的知识储备探求新知的目的，使得学生的探索求知的推理达成了演绎推理，探索求知的过程达成了直接证明.四、值得商榷的几个问题问题1：本节教学的铺垫知识有吗？需要回顾复习哪些预备知识？应聘教师只有1位教师复习了合情推理与演绎推理，其他教师都是复习等差、等比数列的有关知识，或者直接呈现引例.教学者备课必须理解教材的编排，读懂教材的脉络，整体把握教材的意蕴.教材的各个环节是引例呈现----归纳通项----骨牌游戏----类比推理----提炼概念----迁移应用的顺序，教材的本意是先运用合情推理中的归纳推理，后运用合情推理中的类比推理得出数学归纳法的原理，因此，数学归纳法的预备知识应该是合情推理，而不是数列知识，数列只不过是呈现的形式而已.问题2：教材中引例是学生接触过的数列：，比较容易，许多学生很容易想到是等比数列，直接求出该数列的通项公式.可否增加难度换成其他题目作为引例呢？应聘教师有2位教师不是引导学生猜想，而是启发学生直接证明，另有3位应聘教师将引例换成其他难度偏大的同类题目.3\n引例的给出是从学生熟知的问题出发，起点要低，只有这样，才能使所有学生都能顺利接受、理解，避免学生在引入的环节思维受阻，注意力分散，影响本节教学的主要内容理解的深度；只有这样，才能使学生感知思维模式的截然不同，引燃学生的求知欲望；也只有这样，在学生提出猜想后，可以结合原有的直接求解的通项公式验证猜想的正确性，增加学生对数学归纳法原理的可信度.问题3：多米诺骨牌游戏的呈现方式采用哪一种方式宜于学生更好地理解无限递推的条件呢？多米诺骨牌游戏是一个非常好的情境创设的经典实例，事实上，这个素材被许多应聘教师所忽视了.应聘教师只有5位教师提到多米诺骨牌游戏的演示，其他教师只是介绍多米诺骨牌游戏.应聘结束后的总结交流会上，我提到这一点时，应聘教师反映课题确定时间有限，无法准备游戏的材料、游戏的展示，我反问了一句：“你们被告知课题后，你们的手机需要上交了吗？”“手机没有上交，你们怎么不用手机上网百度多米诺骨牌游戏的视频来呈现呢？为什么不想方设法为教材静态的文本赋予动态的生命力呢？”多米诺骨牌游戏的给出是文字语言叙述的，教师完全可以借助于实物进行演示，使得学生有形象直观的感官刺激，当然，为了加深印象，透彻地理解数学归纳法的原理，可以回放2000年中央电视台迎千年的庆典视频中的多米诺骨牌的千年奇观，这些骨牌如果排成直线可达44公里，图案盘旋回绕多姿多彩，其中有中日国旗，有2000年腾飞的巨龙，有海浪图、熊猫图、斑马与喜鹊图、日本的富士山与仕女图、凡高的自画像和毕加索的《哭泣的女人》等世界名画，还有中国年画《娃娃抱鱼》、唐僧孙悟空师徒4人《西天取经图》以及宝塔和火山等图案；当骨牌倾倒之浪经过火山时，火山会喷出五彩火焰，与酒杯一层层码在一起的骨牌会轻巧地倒在酒杯里，为观众斟上一杯香槟酒；最后，倒下的骨牌还会自动立起来。观看后学生同声惊叹，真是巧夺天工，令人目眩神摇.问题4：数学归纳法原理两个条件的关系是怎样的？其本质是什么？应聘教师只有3位教师强调了数学归纳法原理两个条件的关系，其他应聘者都忽视了.在讲课后的专业素养问答环节，应聘教师被问及“你可否举例说明数学归纳法原理两个条件缺一不可，或者说举例说明只满足其中一个条件，结论不成立”，只有1位能对答如流.数学归纳法原理的第一个条件是归纳奠基，是命题成立的初始值的验证，没用第一个条件的成立就没有归纳递推的根基；第二个条件是归纳递推，是将归纳奠基的结论作为原料的“递推机”，是用有限证明无限的“递推机”.数学归纳法证明问题的步骤是“形式化”的表象，“形式化是数学的基本特征之一，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.”这就要求我们，教学中必须引领学生学会数学归纳法的基本步骤，领悟数学归纳法的基本思想与内在的本质，决不能得鱼而忘筌.总之，作为教师，我们既要从宏观的角度领会教材的编写特点，把握教材、理解教材，理清知识发生、发展的来龙去脉，又要从微观的角度揣摩教材的编写意图，明确教材的脉络结构，深刻领悟数学知识的作用和蕴含的人文素养的文化价值，做到跳出教材、活用教材.3
