对数平均数的不等关系链的应用中学数学教育专家安振平在剖析2022年陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景是：当时，.其中被称为对数平均值.对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．1的应用例1（2022年陕西）设函数，，其中是的导函数．（1）（2）（略）（3）设，比较与的大小，并加以证明．解析（3）因为，所以，而，因此，比较与的大小，即只需比较与的大小即可．根据时，，即令则所以，，，将以上各不等式左右两边相加得：，故.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”6\n，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当时，，即令则可得：.例2（2022年天津）已知函数的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：解析（3）易求，待证不等式等价于．根据时，，即令则将以上各不等式左右两边分别相加得：，.得证.2的应用例3设数列的通项，其前项的和为，证明：．解析根据时，，即，令则6\n，易证．3的应用例4设数列的通项，证明：．解析根据时，，即，令则，易证．4的应用例5（2022年湖北）已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）用表示出；（2）（略）（3）证明：解析（1）；（3）当时，，即，令则所以，将以上各不等式左右两边分别相加得：6\n即故例6（2022年新课标Ⅰ）已知函数．（1）若时,求的最小值；（2）设数列的通项，证明：．解析（1）易得．令则若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是减函数，符合题意；综上，的最小值是．（2)当时，，即，令则所以6\n将以上各不等式左右两边分别相加得：即故．评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时，加以赋值，并进行变形，令，有，亦即达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.5的应用例7（2022福建预赛）已知．（1）（略）（2）求证：对一切正整数均成立．解析（2）根据时，，即令则6\n变形可得：则将以上各不等式左右两边相加得：对一切正整数均成立．评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时，,即，结合待证不等式的特征，令，得，整理得：，即,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.茫茫题海，寻根悟法方是岸.6
