圆锥曲线的内接直角三角形的探究新课程高考数学试题，大多源于教材，即便是综合题也是教材例题、习题的组合、加工、引申、拓展和类比，充分体现教材的基础作用，因此，高三复习教学中，教师要紧扣教材，从多个角度精心挖掘教材例题、习题的潜能，使教材中的每一个例题、习题的作用发挥极致，以达到最佳的教学效果．人民教育出版社《全日制普通高中教科书（选修2--1）数学》第73页的第六题主要考查解析几何的基本思想和基本方法，看似平淡无奇，其实是一道呈现简洁、极富韵味的好题，值得我们细细品味．一、题目的再现直线与抛物线相交于两点，求证：．解析设，则，消元得：，，，所以，故．二、变换条件，领悟习题功能习题中的抛物线方程为，其特征量，恰是直线所过定点的横坐标2，这是不是蕴含着一种规律呢？思考1直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点．若直线经过点，求的值．解析显然，直线的斜率不为0，设直线为，则，消元得：，，所以，亦即．评注变换已知条件是拓展探究的常见的方式，是由特殊到一般，以合情推理的数学思想方法为基础，使用有目的性、规律性的原则进行引申与推广，使得一道题变为一类题，可以达到知一题会一类的功效．三、逆向探究，优化思维品质经过定点的直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点，则，那么它的逆命题的是否正确性呢？思考2直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点．若，求证：直线必过定点；解析设，因为，所以，即（舍），4\n所以，所以，整理，得：，因为，所以，显然也成立．故直线必过定点．评注圆锥曲线的定点、定值问题是高考对重要考点考查的视角之一．通过对数学问题的逆向探究，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力与素质．四、拓展探究，深化习题潜能通过探究，我们证明了一个结论：直线与抛物线相交于异于顶点的两个动点，则“直线经过点”的充要条件是“”．如果把直角顶点从原点移到抛物线上的任意一点，是否还有类似的结论呢？思考3点在曲线上，直线与抛物线相交于异于的两个动点，若，直线过定点吗？探究设，因为，所以，即，所以直线的方程依然是，因为，所以，显然也成立．故直线必过定点．评注实际上，本题若直线过定点，也可证明（略）．这样一来，我们得到一般性的结论：点在曲线上，直线与抛物线相交于异于的两个动点，则“直线经过点”的充要条件是“”．五、类比探究，促使能力呈现通过上面的探究，我们得到抛物线的内接直角三角形的斜边恒过定点的结论，那么，椭圆的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？双曲线的内接直角三角形的斜边恒过定点吗？思考4（2022年马鞍山市二模（文））已知椭圆的焦点是，点在椭圆上，且．（1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆的下顶点，过点的两条相互垂直的直线分别交椭圆与点4\n（与不重合）．试证明直线经过定点．解析（1）椭圆的方程；（2）由（1）知，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，则，消元，得：，，且，，所以，故（舍）即直线经过定点．思考5（2022年宿州市三模（文））已知椭圆上的动点到两个焦点的距离之和为6，且它到右焦点的距离的最小值为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，是椭圆的右顶点，，试证明直线经过定点．（解析略）评注一般的，可以证明：（1）设为椭圆上的定点，为椭圆的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．（2）设为椭圆上的定点，为椭圆的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．类比推理，对于双曲线有如下结论：（1）设为双曲线上的定点，为双曲线的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．4\n（2）设为双曲线上的定点，为双曲线的一条动弦，当时，弦所在直线必过定点．当然，如果我们把圆视为椭圆的特例，圆的内接直角三角形的斜边必过定点即圆心．至此，圆锥曲线的内接直角三角形的斜边必过定点．六、结束语前苏联教育家维果斯基的最近发展区理论认为，教学决定着学生的智力发展，教学应当走在学生发展的前面，不停地把学生的智力从一个水平引导到另一个新的更高的水平．高考数学试题具有“源于教材，但高于教材；题在书外，但根在书里”的特点，因此，在高三的课堂教学活动中，教师势必需要时刻立足教材，对教材中有潜质的例题、习题进行挖掘，这是活用教材的体现，也是在学生思维水平“最近发展区”的教学，从而启迪学生的思维，开拓解题思路、解题能力，激活数学思维方法．4
