2022届高考数学难点突破训练——数列与数学归纳法1.如图，曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形△OP1Q1，△Q1P2Q2，…△Qn-1PnQn…设正三角形的边长为,n∈N﹡(记为),.（1）求的值;（2）求数列{}的通项公式。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2.设都是各项为正数的数列，对任意的正整数，都有成等差数列，成等比数列．（1）试问是否成等差数列？为什么？（2）如果，求数列的前项和．3.已知等差数列｛｝中，＝8，＝66.（Ⅰ）求数列｛｝的通项公式；（Ⅱ）设，，求证：.www.ks5u.com4.已知数列{}中，（n≥2，），数列，满足（） （1）求证数列{}是等差数列； （2）求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记…，求．22/22\n5.已知数列{an}中，a1>0,且an+1=，(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；(Ⅲ)假设a1=2，设bn=|an+1－an|(n=1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn<．6.（1）已知：，求证；（2）已知：，求证：。7.已知数列各项均不为0，其前n项和为，且对任意，都有（p为大于1的常数），并记.（1）求；（2）比较与的大小；（3）求证：().8.已知，各项为正的等差数列满足，又数列的前项和是。（1）求数列的通项公式；（2）求证数列是等比数列；（3）设，试问数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明理由。9.设数列前项和为,且(3,其中m为常数,m(1)求证:是等比数列;22/22\n假设数列的公比q=f(m),数列满足求证:为等差数列,求.10.已知数列满足：且，．（Ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；11.将等差数列所有项依次排列，并作如下分组：…第一组1项，第二组2项，第三组4项，…，第n组项。记为第n组中各项的和。已知。（1）求数列的通项；（2）求的通项公式；（3）设的前n项的和为，求。12.设各项为正数的等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。13.设数列是首项为0的递增数列，（），满足：对于任意的总有两个不同的根。（1）试写出，并求出；（2）求，并求出的通项公式；（3）设，求。22/22\n14.已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.(Ⅰ)假设，求；（Ⅱ）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进展研究，你能得到什么样的结论？(所得的结论不必证明)15.一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；②当从A口输入自然数时，在B口得到的结果是前一个结果的倍.（1）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？试猜测的关系式，并证明你的结论；（2）记为数列的前项的和。当从B口得到16112195的倒数时，求此时对应的的值.16.已知数列，其前n项和Sn满足是大于0的常数），且a1=1，a3=4.（1）求的值；（2）求数列的通项公式an；（3）设数列的前n项和为Tn，试比较与Sn的大小.17.定义：假设数列满足，那么称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，且，其中为正整数．(1)设，证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式；(3)记，求数列的前项之和，并求使的的最小值．18.在不等边△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，依次成等差数列，给定数列，，． （1）试根据以下选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号：22/22\n 数列，，（ ）． A．是等比数列而不是等差数列 B．是等差数列而不是等比数列 C．既是等比数列也是等差数列 D．既非等比数列也非等差数列 （2）证明你的判断．19.已知是等差数列，其前n项和为Sn，已知a2=8，S10=185，（1）求数列的通项公式；（2）设，证明是等比数列，并求其前n项和Tn.20.已知数列{an}中，，（n＝2，3，4，…）（I）求的值；（II）证明当n＝2，3，4，…时，21.已知等差数列{}中，是其前n项的和且（I）求数列{}的通项公式。（II）假设从数列{}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序组成一个新数列{}，求数列{}的前n项和。22.已知正项等比数列{}满足条件：①；②，求{}的通项公式．23.已知函数f（x）＝（ax＋b）图象过点A（2，1）和B（5，2）．（1）求函数f（x）的解析式； （2）记，，是否存在正数k，使得…对一切均成立，假设存在，求出k的最大值，假设不存在，请说明理由．24.已知f(x)=log2(x+m),m∈R（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m的值；22/22\n（2）如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。25.已知等差数列{an}的公差d>0.Sn是它的前n项和，又与的等比中项是，与的等差中项是6，求an。26.和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合，，，…，，，，，…，．求证：．27.已知曲线C：，：（）。从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设。（I）求的坐标；（II）求数列的通项公式；（III）记数列的前项和为，求证：答案解析1.解：①由条件可得,代入得②∴；代入曲线并整理得,∴于是当时,22/22\n即又当；,故∴所以数列{}是首项为、公差为的等差数列,。2.由题意，得，（1）（2）（1）因为，所以由式（2）得，从而当时，，代入式（1）得，即，故是等差数列．（2）由及式（1），式（2），易得因此的公差，从而，得（3）又也适合式（3），得，所以，从而3.解：（Ⅰ）（Ⅱ），22/22\n，=而是递增数列，.4.（1）， 而 ， ∴ ． ∴ {}是首项为，公差为1的等差数列． （2）依题意有，而， ∴ ． 对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）上为减函数． 故当n＝4时，取最大值3 而函数在x＜3.5时，y＜0，，在（，3.5）上也为减函数． 故当n＝3时，取最小值，＝-1． （3），， ∴ ．5.(Ⅰ)欲使数列{an}是一个常数数列，那么an+1==an22/22\n又依a1>0，可得an>0并解出：an=，即a1=an=(Ⅱ)研究an+1－an=－=(n≥2)注意到>0因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号7’要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可.由>0，解得：0<a1<(Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得当a1>时，an+1<an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时，an+1－an<0∴Sn=b1+b2+…bn=|a2－a1|+|a3－a2|+…+|an+1－an|=a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an+1=a1－an+1=2－an+1又：an+2=<an+1，可解得an+1>,故Sn<2－=6.（1）令，由x>0，∴t>1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，∵当时，有，∴函数f(t)在递增∴f(t)>f(1)即t-1<lnt另令，那么有∴g(t)在上递增，∴g(t)>g(1)=0∴综上得（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得22/22\n即得7.(1)易求得（2）作差比较易得：（3）当时，不等式组显然成立.当由（2）知再证而同理：，，……，以上各式相加得：22/22\n即.8.（1），又或假设，那么，与矛盾；假设，那么，显然，（2），当时，，欧时，，数列是以9为首项，为公比的等比数列。（3），设是数列中的最大项，那么由可得数列有最大项，最大项是。9.（1）由22/22\n∴是等比数列。（2）10.（Ⅰ）经计算，，，．当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，；当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，．因此，数列的通项公式为．（Ⅱ），……（1）…（2）（1）、（2）两式相减，得22/22\n．．11.设的公差为d，首项为，那么（1）（2）解得，那么。（2）当时，在前n-1组中共有项数为：。故第n组中的第一项为哪一项数列中的第项，且第n组中共有项。所以当n=1时，也适合上式，故。（3）。即数列前8组元素之和，且这8组总共有项数。那么12.（Ⅰ）由得即可得因为，所以解得，因而（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故那么数列的前n项和22/22\n前两式相减，得即13.（1）∵,当时,,,又∵对任意的,总有两个不同的根,∴∴，由(1),∵对任意的,总有两个不同的根,∴∵对任意的,总有两个不同的根,∴由此可得，（1）当，∴当，∴14.（1）.（2），，当时，.22/22\n（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围．15.（1）由已知得当时，，1分同理可得3分猜测下面用数学归纳法证明成立①当时，由上面的计算结果知成立6分②假设时，成立，即，那么当时，即当时，也成立综合①②所述，对，成立。（2）由（1）可得16.（I）解：由得22/22\n，（II）由，∴数列{}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，当n=1时a1=1满足（III）①，②①－②得，那么.当n=1时，即当n=1或2时，当n>2时，17.（1）由条件an＋1＝2an2＋2an，得2an＋1＋1＝4an2＋4an＋1＝(2an＋1)2．∴{bn}是“平方递推数列”．∴lgbn＋1＝2lgbn．∵lg(2a1＋1)＝lg5≠0，∴＝2．∴{lg(2an＋1)}为等比数列．（2）∵lg(2a1＋1)＝lg5，∴lg(2an＋1)＝2n－1×lg5，∴2an＋1＝5，∴an＝(5－1)．22/22\n∵lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2an＋1)＝＝(2n－1)lg5．∴Tn＝5．（3）cn＝＝＝＝2－，∴Sn＝2n－[1＋＋＋…＋]＝2n－＝2n－2[1－]＝2n－2＋2．由Sn＞2022得2n－2＋2＞2022，n＋＞1005，当n≤1004时，n＋＜1005，当n≥1005时，n＋＞1005，∴n的最小值为1005．18.（1）B （2）因为、、成等差数列，所以，所以．又，，．显然，即、、成等差数列．假设其为等比数列，有，所以，，与题设矛盾19.（1）解得（2）……7分是公比为8的等比数列……10分20.（I），4分（II）当k＝2，3，4，5，…时，∴，∴∴，∴22/22\n∵，∴∴∴，∴∴21.（I）设数列的公差为d，那么，又由（1）（2）得数列的通项公式（II）数列的前n项和22.设等比数列的公比为q，由已知条件， 得 ①÷②得：，所以 ．①×②，得， 即 ．或．（舍去） 由 得： ∴ 23.（1）由已知，得解得：． ∴ （2）． 设存在正数k，使得…对一切均成立，22/22\n 那么…．记…，那么…． ∵ ． ∴ ，∴ F（n）是随n的增大而增大， ∵ ，∴ 当时，． ∴ ，即k的最大值为．24.（1）∵f(1),f(2),f(4)成等差数列，∴f(1)+f(4)=2f(2).即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2∴(m+1)(m+4)=(m+2)2即m2+5m+4=m2+4m+4∴m=0(2)∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)],2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,∵a,b,c成等比数列，∴∵(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2m∵a>0,c>0.∴a+c≥2①m>0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0,∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2∴f(a)+f(c)>2f(b);②m<0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0,∴log2[(a+m)(c+m)]<log2(b+m)2∴f(a)+f(c)<2f(b);22/22\n③m=0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0∴log2[(a+m)(c+m)]=log2(b+m)2∴f(a)+f(c)=2f(b);25.∵∴即∴∴即解之，得把d=2代入a1+2d=6,得a1=2∴26.等比数列中，当时，化简得，所以，，，等差数列中，解得所以．，，，…，，22/22\nB＝{9，13，17，…，4n＋5}．设A中任意元素为，那么需证是B中的一个元素，设其为，那么需证，即，那么需证是4的倍数．因为，所以以上多项式各项都是4的倍数，能被4整除．所以集合A中的任意元素都是B中的元素，又，，所以27.（1）由题意得知，，（2），，点的坐标为在曲线上，，又在曲线上，（III）……+……7分==，22/22\nw.w.w.k.s.5.u.c.o.m高考资源网www.ks5u.com22/22
