高考数学第三次模拟考试（数学）2022.5注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：一组数据的方差，其中为这组数据的平均数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y2≤2，y∈Z}，则M∩N＝▲．2．在复平面内，复数对应的点与原点之间的距离是▲．3．已知命题p：函数y＝lgx2的定义域是R，命题q：函数y＝的值域是正实数集，给出命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q．其中真命题有▲个．4．已知数列{an}是等差数列，a4＝7，S9＝45，则过点P(2，a3)，Q(4，a6)的直线的斜率（第5题图）开始n←1n←n＋12n＞n2输出n结束Y等于▲．5．右边的流程图最后输出的n的值是▲．6．若x，y满足约束条件N则z＝2x－y＋4的取值范围是▲．7．已知正四棱锥的体积是48cm3，高为4cm，7899256483（第（8）题图）则该四棱锥的侧面积是▲cm2．8．如图是2022年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为▲．9．当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax－By＝0中，任取一条，其倾斜角小于45°的概率是▲．10．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log2x)＜0的解集为▲．11．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点F1，F2分别在双曲线－＝1的左、右准线上，则椭圆的离心率e＝▲．12．函数y＝tan(x－)的部分图像如图所示,则(－)×＝▲．ABO1yx（第（12）题图）（第（13）题图）BACD12/12\n13．在△ABC中，D为BC中点，ÐBAD＝45°，ÐCAD＝30°，AB＝，则AD＝▲．14．已知x，y都在区间(0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知0＜a＜＜b＜p，tan＝，cos(b－a)＝．（1）求sina的值；（2）求b的值．16．（本题满分14分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C为矩形，四边形BB1C1C为菱形．AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，D，E分别为A1B1，CC1中点．BACA1B1C1ED求证：（1）DE∥平面AB1C；（2）BC1^平面AB1C．17．（本题满分14分）A地产汽油，B地需要汽油．运输工具沿直线AB从A地到B地运油，往返A，B一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的．如果在线段AB之间的某地C（不与A，B重合）建一油库，则可选择C12/12\n作为中转站，即可由这种运输工具先将油从A地运到C地，然后再由同样的运输工具将油从C地运到B地．设＝x，往返A，C一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的．往返C，B一趟所需的油耗等于从C地运出总油量的．不计装卸中的损耗，定义：运油率P＝，设从A地直接运油到B地的运油率为P1，从A地经过C中转再运油到B地的运油率为P2．（1）比较P1，P2的大小；（2）当C地选在何处时，运油率P2最大？18．（本题满分16分）已知抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1．点P在抛物线上，以P圆心，P到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆P存在内接矩形ABCD，满足AB＝2CD，直线AB的斜率为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最大值，并求此时圆P的方程．1.19．（本题满分16分）已知函数f(x)＝lnx＋，其中a为大于零的常数．（1）若函数f(x)在区间[1，＋∞)内不是单调函数，求a的取值范围；（2）求函数f(x)在区间[e，e2]上的最小值．12/12\n20．（本小题满分16分）已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝an＋1－an，其中n∈N*．设数列{bn}满足bn＝an＋1－an，n∈N*．（1）证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式；（3）令cn＝，n∈N*，求证：c1＋c2＋…＋cn＜2．南京市第十三中学2022届高三年级第三次模拟考试数学附加卷2022.5注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．12/12\n2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲ABPCDFQ圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q，求证：PF＝PQ．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M＝，N＝，求直线y＝2x＋1在矩阵MN的作用下变换所得到的直线方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程已知⊙C：r＝cosq＋sinq，直线l：r＝．求⊙C上点到直线l距离的最小值．D．选修4—5：不等式选讲已知关于x的不等式∣x＋1∣＋∣x－1∣≤＋＋对任意正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．2022年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”12/12\n组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量12311从中随机地选取5只．（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推．设表示所得的分数，求的分布列和期望值．23．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*，令bn＝an＋1－2an，且a1＝1．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f¢(1)的表达式，并比较f¢(1)与8n2－4n的大小．南京市第十三中学2022届高三年级第三次模拟考试数学试卷参考答案2022.5说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．12/12\n一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．{0，1}2．13．24．－35．56．[2，5]7．608．49．10．（，）11．12．413．14．(，]二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解：（1）tana＝＝，…………………………………………3分所以＝，又因为sin2a＋cos2a＝1，解得sina＝．………………………………………………………7分（2）因为0＜a＜＜b＜p，所以0＜b－a＜p．因为cos(b－a)＝，所以sin(b－a)＝．……………………9分所以sinb＝sin[(b－a)＋a]＝sin(b－a)cosa＋cos(b－a)sina＝×＋×＝，……12分因为b∈(，p)，所以b＝．………………………………………………………14分16．（本题满分14分）证明：（1）取AB1中点F，连结DF，CF．因为D为A1B1中点，所以DFAA1．因为E为CC1中点，AA1CC1，所以CEDF．所以四边形CFDE为平行四边形．所以DE∥CF．…………………………………………………4分因为CFÌ平面ABC，DE平面ABC，所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分（2）因为AA1C1C为矩形，所以AC^CC1．因为BB1C1C为菱形，所以CC1＝CB．B1C^BC1．…………8分因为AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，所以AC2＋BC2＝AB2．……………………………………10分所以AC^BC．所以AC^平面BB1C1C．…………………………………12分所以AC^BC1．所以BC1^平面AB1C．……………………………………14分BACA1B1C1EDF12/12\n17．（本题满分14分）解：（1）设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于a，所以B地收到的油量为(1－)a．所以运油率P1＝＝．……………………………………3分而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为(1－)a，B地收到的油量(1－)(1－)a，所以运油率P2＝＝(1－)(1－)＝(＋)(1－)．…………………………7分所以P2－P1＝x(1－x)，因为0＜x＜1，所以P2－P1＞0，即P2＞P1．…………………………………………9分（2）因为P2＝(＋)(1－)≤＝．当且仅当＋＝1－，即x＝时，取“＝”．所以当C地为AB中点时，运油率P2有最大值．……………………………………14分18．（本题满分16分）解：（1）因为抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1，所以抛物线开口向右，且－＝－1，所以p＝2．所以所求的抛物线方程为y2＝4x．…………………………………………4分（2）设P(x0，y0)，则y02＝4x0，半径r＝PF＝x0＋1，圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2，……………………………6分设AB的方程为y＝2x＋b，由AB＝2CD得，圆心P到直线AB的距离2d＝，……………………………6分所以5d2＝r2，即d＝r．因为r＝|x0＋1|，d＝，代入得∣2x0－y0＋b∣＝∣x0＋1∣．…………………………………8分即2x0－y0＋b＝x0＋1或2x0－y0＋b＝－x0－1．所以x0－y0＋b－1＝0或3x0－y0＋b＋1＝0．因为y02＝4x0，所以x0＝y02，代入得y02－y0＋(b－1)＝0或y02－y0＋(b＋1)＝0．……………………10分12/12\n方程y02－y0＋(b－1)＝0关于y0有解Û1－(b－1)≥0，b≤2．方程y02－y0＋(b＋1)＝0．关于y0有解Û1－3(b＋1)≥0，b≤－．…12分综上所述，b的最大值为2．……………………………………………14分此时，y0＝2，x0＝1，r＝x0＋1＝2，所以圆P的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．……………………………16分19．（本题满分16分）解：f¢(x)＝(x＞0)2分（1）由已知，得f¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，又当x∈(1，＋∞)时，＜1，所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是(0，1)．………………………………6分（2）①当a≥时，因为f¢(x)＞0在(e，e2)上恒成立，这时f(x)在[e，e2]上为增函数，所以当x＝e时，f(x)min＝f(e)＝1＋………………………………………………8分②当0＜a≤时，因为f¢(x)＜0在(e，e2)上恒成立，这时f(x)在[e，e2]上为减函数，所以，当x＝e2时，f(x)min＝f(e2)＝2－，…………………………………………10分③当＜a＜时，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e2)，又因为对于x∈(e，)有f¢(x)＜0，对于x∈(，e2)有f¢(x)＞0，所以当x＝时，f(x)min＝f()＝ln＋1－．………………………………………14分综上，f(x)在[e，e2]上的最小值为f(x)min＝………………………………………16分20．（本题满分16分）解：（1）由条件得an＋2＝(2＋)an＋1－an，12/12\n所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，即bn＋1＝2bn，又b1＝a2－a1＝2，所以bn≠0，从而＝2对n∈N*成立，所以数列{bn}是首项为b1＝2，公比q＝2的等比数列，所以bn＝2n．…………………………………………………6分（2）由（1）得an＋1—an＝2n．所以(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)×2n，………………8分所以2a2－a1＝2×21，3a3－2a2＝3×22，4a4－3a3＝4×23，…………，nan－(n－1)an－1＝n×2n－1，相加得nan－a1＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1，所以2(nan－a1)＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n．两式相减得：－（nan－a1)＝2(21＋22＋…＋2n－1)－n×2n＝2n＋1－4－n×2n，所以an＝2n－＝．…………………………………………………………11分（3）因为cn＝＝＝4[－]，…………13分所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝4[－＋－＋－＋…＋－]＝4[－]＝2－＜2．…………………………………………………16分南京市第十三中学2022届高三年级第三次模拟考试数学附加卷答案2022.51．（几何证明选讲）（本题满分10分）证明：证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以ÐADF＝ÐABC．因为PF∥BC，所以ÐAFP＝ÐABC．所以ÐAFP＝ÐFQP．因为ÐAPF＝ÐFPA，所以△APF∽△FPQ．所以＝．………………5分所以PF2＝PA×PD．因为PQ与圆相切，所以PQ2＝PA×PD．所以PF2＝PQ2．所以PF＝PQ．……………………………………………10分2．（矩阵与变换）（本题满分10分）解：∵MN＝＝，设直线y＝2x＋1上一点(x0，y0)在MN作用下变为(x¢，y¢)，则＝，即＝，即从而可得……………………………………5分∵y0＝2x0＋1，代入得y¢＝2(x¢－y¢)＋1，12/12\n化简得2x¢－y¢＋1＝0，即6x¢－5y¢＋3＝0．即变换后的直线方程是6x－5y＋3＝0．…………………………10分3．（坐标系与参数方程）（本题满分10分）解：⊙O的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，即(x－)2＋(y－)2＝．………………………………………………3分直线l的极坐标方程为r(cosq－sinq)＝4，直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．………………………………6分设M(＋cosq，＋sinq)为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离d＝＝，当q＝时，dmin＝．…………………………………………………10分4．（不等式选讲）（本题满分10分）解：因为＋＋≥3＝3，………………………………………4分所以∣x＋1∣＋∣x－1∣≤3，x∈[－，]．…………………………………………………………10分5．（本题满分10分）解：解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率………………………………………………3分（2）ξ的取值为100，80，60，40.…………………………………4分……………………………………………………8分ξ的分布列为ξ100806040P……………………………………………………………………………………9分Eξ=…………………………………………10分6．（本题满分10分）12/12\n解：（1）∵，∴.∴（）.∴（）.∴（）.∴（）.∴数列为等比数列，其公比为，首项，而，且，∴.∴.∴.…………………………………………………………4分．（2）∵，∴.∴.∴，①∴2.②①-②得-，，∴.…………………………………………………6分．∴（）==.当时，=；当时，-（）=4（4-5）=-4，；当时，，且，∴时，总有.…………………………………………………10分．∴时，总有．12/12
