高考数学第三次模拟考试数学2022.5注意事项：1.本试卷共160分.考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1.已知集合R，R，则▲．2.已知ii，i为虚数单位，则复数▲．05112446723（第3题）3.一位篮球运动员在最近的8场比赛中得分的茎叶图如图，则他在这8场比赛中得分的平均值是▲．4.已知向量a(1,)，b()，若向量2a-b与向量b垂直，则|a|▲．5.函数在(0,1)内有极小值，则实数的取值范围是▲．（第7题）6.将一根木棒随意分成两段，较长一段的长度不超过较短一段的长度的2倍的概率是▲．7.执行如图算法框图，若输入，，则输出的值为▲．13/13\n8.已知，是椭圆的左、右焦点，经过的直线与椭圆交于，两点，若△的周长为12，则椭圆的离心率为▲．9.曲线在处的切线方程为▲．10.已知正四面体的表面积为，则该四面体的体积为▲．11.若函数是偶函数，则实数的值为▲．12.用表示自然数的各位数字的和，例如，，若对任意，都有，满足这个条件的最大的两位数的值是▲．13.函数的图象在上恰好有两个点的纵坐标为1，则实数的取值范围是▲．14.设为数列的前项之和，若不等式≥对任意等差数列及任意正整数恒成立，则实数的最大值为▲．13/13\n二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知在△中，，，分别为角，，所对的边，().(1)求角的大小；(2)若，试判断△的形状，并说明理由．16.(本小题满分14分)AA1BCB1C1DEF如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点，分别是，的中点．(1)求证：为的中点；(2)求证：平面．（第16题）17.(本小题满分14分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且8100O001200140040008200)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳．(1)试求的函数关系式；13/13\n(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．（第17题）18.(本小题满分16分)已知直线:与圆(为坐标原点)相切，椭圆的离心率为，短半轴长等于圆的半径．(1)求椭圆的方程；(2)抛物线的顶点为原点，焦点为椭圆的右焦点，点，是抛物线上不同的两点，且满足，求点的纵坐标的取值范围．19.(本小题满分16分)已知数列的通项公式为(N*)．(1)若，，成等比数列，求的值；(2)是否存在(≥3且N)，使得，，成等差数列，若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由；(3)求证：数列中的任意一项总可以表示成数列中的其他两项之积．20.(本小题满分16分)已知正方形的中心在原点，四个顶点都在曲线上．(1)若正方形的一个顶点为，求、的值；(2)若，求证：是正方形唯一确定的充要条件．13/13\n（本试卷未经授权，不得复制、发表）南京师大附中2022届高三第三次模拟考试数学附加题2022.5注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试题共40分，考试时间30分钟.3.答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，圆是△的外接圆，过点的切线交的延长线于点，OABCD，，求以及的长．B.选修4-2：矩阵与变换已知变换把平面上的点，分别变换成点，，试求变换对应的矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程圆：()，与极轴交于点(异于极点)，求直线的极坐标方程.D.选修4-5：不等式选讲13/13\n证明：(≥2，).【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖.(1)求一次抽奖中奖的概率；(2)若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和(元)的概率分布和期望.23.函数的图象为曲线，在上有一点的横坐标为，点的坐标为，直线与曲线交于另一点.(1)试用表示点的横坐标；(2)求直线与曲线围成的封闭图形的面积的最小值.13/13\n（本试卷未经授权，不得复制、发表）南京师大附中2022届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分细则2022.05一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．2．2+2i3．144．25．(0,3)6．7．38．9．10．11．212．9713．14．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(本题满分14分)解：(1)，，……………4分，．……………………………………………………6分(2)，又，由正弦定理得……………………………10分由余弦定理得，，…………………………………………………12分又，是正三角形．………………………………………14分16．(本题满分14分)解：(1)正三棱柱，平面，13/13\n又平面，，又，平面，………………………………………………………3分又正三棱柱，平面平面，，为的中点．………6分AA1BCB1C1DEFG(2)连接，连接交于点，连接矩形，为的中点，又由(1)得为的中点，△中，…………………9分又点，分别是，的中点，△中，，，………12分又平面，平面，平面．………14分17．(本题满分14分)解：（1）时，设()，将代入得时，…………………………2分时，将代入，得………4分∴．………………………6分（2）时，解得，∴…………………………9分时，解得，∴，…………………………12分∴，13/13\n即老师在时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．…14分18．(本题满分16分)解：（1）∵，∴，，∴……………………3分∵直线相切，∴∴∵椭圆的方程是………………………………………………6分（2）设抛物线的方程为，∵椭圆的右焦点为，∴，∴，∴抛物线的方程为．………………………………………………8分设∴，∵∴………………………………10分∵，化简得……………………………12分∴当且仅当时等号成立……………………………14分∴当≥8或≤- 8．………………………………16分19．(本题满分16分)解：(1)，，，，，成等比数列，∴，∴或∵N*，∴．……………………………4分(2)假设存在这样的，满足条件，，，，，，成等差数列，∴，化简得∵，N*，∴时，；或时，．……………………8分(3)即证存在，，使得13/13\n即证：即证：即证：即证：即证：……………………12分令，则∴对任意，即数列中的任意一项总可以表示成数列中的其他两项之积．……………16分20．(本题满分16分)解：(1)∵一个顶点为，∴必有另三个顶点，，，将，代入，得，．………………4分(2)设正方形在第一象限的顶点坐标为，则必然有另一个顶点…6分充分性：若，则，则有，即——①……………8分令，则，代入①得即化简得，……………10分又有且仅有一个正根，∴唯一确定，即正方形唯一确定．……………12分必要性：13/13\n若唯一确定，则，即即——②令，则，代入①得即化简得，即——③又③有唯一解，∴，又∵∴………16分南京师大附中2022届高三第三次模拟考试附加题答案及评分细则21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲(本题满分10分)解：由切割线定理得:，………………………2分，，．…………6分，∴∽，…………………………………8分∴，得．……………………………10分B.选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)解：设，则，……………4分．…………………10分C.选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)13/13\n解：圆：所以…………………4分所以圆心，与极轴交于…………………6分直线的直角坐标方程为…………………8分即直线的极坐标方程为．…………………10分D.选修4-5：不等式选讲(本题满分10分)证明：………5分．………10分22.(本题满分10分)解：(1)设“一次抽奖中奖”为事件，则答：一次抽奖中奖的概率为．…………………5分(2)可取0，10，20，，010200.040.320.64的概率分布列为．…………………10分23.(本题满分10分)解：(1)，，，：13/13\n与联立化简得：即即或，因为的横坐标为，所以的横坐标为．……5分(2)当时，最小值为．…………………10分13/13
