第一章 集合与常用逻辑用语第二讲 常用逻辑用语1.[2021南昌市高三测试]命题“∀x≥0,sInx≤x”的否定为( )A.∃x0<0,sInx0>x0B.∃x0≥0,sInx0>x0C.∀x≥0,sInx>xD.∀x<0,sInx≤x2.[2021惠州市二调]“θ=0”是“sInθ=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.[2018北京,5分][理]设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.[2021广东省台山市模拟]已知I是虚数单位,p:复数a-1+bI(a,b∈R)是纯虚数,q:a=1,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.[2021福建泉州质检]已知α,β是两个不重合的平面,直线a⊂α,p:a∥β,q:α∥β,则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.[2021广东省东莞市东华高级中学第二次联考]“k=33”是“直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.[2021广东省汕头市四校联考]若命题“∃x0∈R,x02+2mx0+m+2<0”为假命题,则m的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪[2,+∞)B.(-∞,-1)∪(2,+∞)C.[-1,2]D.(-1,2)8.[2021蓉城名校联考]“m∈(0,13)”是“函数f(x)=(3m-1)x+4m,x<1,-mx,x≥1为定义在R上的减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.[2021洛阳市统考]已知四个命题:第4页共4页\np1:∃x0∈R,sInx0-cosx0≥2;p2:∀x∈R,tanx=sInxcosx;p3:∃x0∈R,x02+x0+1≤0;p4:∀x>0,x+1x≥2.以下命题为假命题的是( )A.p1∨p4B.p2∨p4C.p1∨p3D.p2∨p310.[2021湖北省四地七校联考]已知x∈R,p:x2<x,q:1x≥a(a>0),若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 . 11.[角度创新]已知实数a>1,b>1,则“a+b≤4”是“log2a·log2b≤1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.[角度创新]已知正项等比数列{an},则“1<an<2”是“数列{an}是常数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.[2021河南洛阳市第一高级中学月考]下列说法错误的是( )A.命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题为“若x≠3,则x2-4x+3≠0”B.命题“∀x∈(0,+∞),2x<3x”是假命题C.若命题p,¬q均为假命题,则命题(¬p)∧q为真命题D.若f(x)是定义在R上的函数,则“f(0)=0”是“f(x)是奇函数”的必要不充分条件14.[2021贵阳市四校第二次联考]已知p:y2=2mx表示焦点在x轴的正半轴上的抛物线,q:x2m+2+y26-m=1表示椭圆,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是( )A.-2<m<6且m≠2B.0<m<6C.0<m<6且m≠2D.-2<m<615.[2019浙江,5,4分]设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案第二讲 常用逻辑用语第4页共4页\n1.B 原命题是全称命题,其否定是特称命题,因为否定的是结论而不是条件,所以A选项错误,B选项正确.故选B.2.A 当θ=0时,sinθ=0成立;而当sinθ=0时,得θ=kπ(k∈Z).故选A.3.C ∵|a-3b|=|3a+b|,∴(a-3b)2=(3a+b)2,∴a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,∵|a|=|b|=1,∴a·b=0,∴a⊥b;反之也成立.故选C.4.A 若复数a-1+bi是纯虚数,则必有a=1,b≠0,所以由p能推出q.但由a=1,不能推出复数a-1+bi是纯虚数,所以由q不能推出p.因此p是q的充分不必要条件.故选A.5.B 由平面平行的性质,可得q⇒p;若a⊂α,a∥β,则α,β平行或相交,pq.故p是q的必要不充分条件,故选B.6.A 若直线l与圆相切,则有|2k|k2+1=1,解得k=±33,所以“k=33”是“直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件,故选A.7.C 命题的否定是“∀x∈R,x2+2mx+m+2≥0”,该命题为真命题,所以Δ=4m2-4(m+2)≤0,解得-1≤m≤2.故选C.8.B 函数f(x)是定义在R上的减函数,则有3m-1<0,-m<0,(3m-1)×1+4m≥-m⇒m<13,m>0,8m≥1⇒18≤m<13.因为[18,13)⫋(0,13),所以“m∈(0,13)”是“函数f(x)=(3m-1)x+4m,x<1,-mx,x≥1是定义在R上的减函数”的必要不充分条件,故选B.9.D 解法一 对于命题p1,当x0=3π4+2kπ(k∈Z)时,sinx0-cosx0=2,所以p1是真命题;对于命题p2,当x=π2+kπ(k∈Z)时,cosx=0,所以p2是假命题;对于命题p3,因为x2+x+1=(x+12)2+34≥34>0,所以p3是假命题;对于命题p4,当x>0时,由基本不等式知x+1x≥2,所以p4是真命题.所以p1∨p4,p2∨p4,p1∨p3是真命题,p2∨p3是假命题,故选D.解法二 令x0=3π4可判断出命题p1是真命题,排除选项A,C,对比选项B,D,只需判断出命题p3或p4的真假即可,由基本不等式易判断出命题p4是真命题,故排除选项B,故选D.10.(0,1] p对应的集合A=(0,1),q对应的集合B=(0,1a].又p是q的充分不必要条件,所以A⫋B,所以1≤1a,所以0<a≤1,即实数a的取值范围是(0,1].11.A 因为a>1,b>1,所以log2a>0,log2b>0.因为a+b≥2ab,a+b≤4,所以ab≤4,log2a·log2b≤(log2a+log2b2)2=[log2(ab)2]2≤(log242)2=1(当且仅当a=b=2时“=”成立).反之,取a=16,b=215,则log2a·log2b=log216·log2215=45<1,但是a+b>4.所以a+b≤4是log2a·log2b≤1的充分不必要条件.故选A.12.A 若1<an<2,设数列{an}的公比为q(q>0),则an=a1·qn-1(n∈N*).当q>1时,an→+∞,不符合1<an<2;当0<q<1时,an→0,不符合1<an<2.所以只能q=1,故数列{an}是常数列.反之不成立.故选A.第4页共4页\n13.B 根据指数函数的性质可知命题“∀x∈(0,+∞),2x<3x”是真命题,所以B错误,选B.14.C 解法一 因为p∧q为真命题,所以p,q都是真命题.对于p,m>0;对于q,m+2>0,6-m>0,m+2≠6-m,解得-2<m<6且m≠2.所以0<m<6且m≠2,故选C.解法二 因为m≠0,所以排除A,D,当m=2时,x2m+2+y26-m=1表示圆,所以m≠2,排除B,故选C.15.A 因为a>0,b>0,所以a+b≥2ab,由a+b≤4可得2ab≤4,解得ab≤4,所以充分性成立;当ab≤4时,取a=8,b=13,满足ab≤4,但a+b>4,所以必要性不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.故选A.第4页共4页
