第八章解析几何一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．)1．(2022·天津河西期末)点P(－2,1)到直线2x＋y＝5的距离为( )A. B.C.D.解析：点P到直线的距离d＝＝.答案：B2．(2022·苏州模拟)假设ab<0，那么过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.解析：kPQ＝＝，∵ab<0，∴<0，即k<0，∴直线PQ的倾斜角的取值范围是.答案：B3．假设双曲线－y2＝1的一个焦点为(2,0)，那么它的离心率为( )A.B.C.D．2解析：由题意知a2＋1＝4，∴a＝，∴e＝＝＝.答案：C4．(2022·厦门质检)直角坐标平面内过点P(2,1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线( )A．有两条B．有且仅有一条C．不存在D．不能确定解析：∵22＋12>4，∴点P在圆外，故过点P与圆相切的直线有两条．答案：A5．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )A．－x＋2y－4＝0B．x＋2y－4＝0C．－x＋2y＋4＝0D．x＋2y＋4＝08/8\n解析：由题意知，两直线垂直，且已知直线过点(0，－2)，所求直线斜率为－，∴所求直线方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0.答案：D6．(2022·广州调研)已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，假设＝，那么点P的轨迹方程为( )A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4解析：设点P(x，y)，R(x1，y1)，∵＝，∴(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，∴即又点R在直线l上，∴－y＝2(2－x)－4，即2x－y＝0为所求．答案：B7．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，那么|AB|的最小值为( )A．2B．2C．3D．2解析：当过点(0,1)的直线与直径垂直且(0,1)为垂足时，|AB|最小值为2.答案：B8．如右图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，那么双曲线的离心率为( )A.B.C.D．1＋解析：连结AF1，那么∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，∴|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝|F1F2|＝c，∴c－c＝2a，∴e＝＝＝1＋.答案：D9．(2022·海淀模拟)假设直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，那么直线l2恒过定点( )A．(0,4)B．(0,2)C．(－2,4)D．(4，－2)8/8\n解析：直线l1恒过定点(4,0)，点(4,0)关于点(2,1)对称的点为(0,2)，由题意知l2恒过点(0,2)．答案：B10．抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过等轴双曲线x2－y2＝1的左焦点，那么p＝( )A.B.C．2D．4解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－，0)，故抛物线的准线为x＝－，∴＝，p＝2.答案：C11．假设直线ax＋by＋1＝0(a、b>0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，那么＋的最小值为( )A．8B．12C．16D．20解析：由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a＋b＝1，从而＋＝(＋)(4a＋b)＝8＋＋≥8＋2×4＝16(当且仅当b＝4a时取“＝”)．答案：C12．(2022·诸城模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B(如以下图)，交其准线于点C，假设|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，那么此抛物线的方程为( )A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x解析：点F到抛物线准线的距离为p，又由|BC|＝2|BF|得点B到准线的距离为|BF|，那么＝，∴l与准线夹角为30°，那么直线l的倾斜角为60°.由|AF|＝3，如图连结AH⊥HC，EF⊥AH，那么AE＝3－p，那么cos60°＝，故p＝.∴抛物线方程为y2＝3x.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13．(2022·杭州模拟)直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，那么该椭圆的离心率等于________．8/8\n解析：直线过点(2,0)和(0,1)，即为椭圆的一个焦点和一个顶点，又a>b>0，∴焦点在x轴上，∴c＝2，b＝1，a＝＝，∴e＝.答案：14．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，那么直线x·sinA＋ay＋c＝0与bx－y·sinB＋sinC＝0的位置关系是________．解析：在△ABC中，由正弦定理得＝，∴asinB－bsinA＝0，∴两直线垂直．答案：垂直15．(2022·全国卷Ⅱ)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，那么过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：依题意过A(1,2)作圆x2＋y2＝5的切线方程为x＋2y＝5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的面积S＝··5＝.答案：16．(2022·湖南高考)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.假设∠AOB＝120°(O是坐标原点)，那么双曲线C的离心率为________．解析：∵∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°.在Rt△OAF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∴e＝＝＝＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线x＋y－7＝0及x＋y－5＝0上，求AB中点M到原点距离的最小值．解：设AB中点为(x0，y0)，∴又∵∴(x1＋x2)＋(y1＋y2)＝12，∴2x0＋2y0＝12，∴x0＋y0＝6.8/8\n∴原点到x0＋y0＝6距离为所求，即d＝＝3.18．(本小题总分值12分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交点A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2.得圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)不妨设A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜x2.由x2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，得·＝x2＋y2，即x2－y2＝2.·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1.所以·的取值范围为[－2,0)．19．(本小题总分值12分)已知点(x，y)在曲线C上，将此点的纵坐标变为原来的2倍，对应的横坐标不变，得到的点满足方程x2＋y2＝8；定点M(2,1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，直线l与曲线C交于A，B两个不同点．(1)求曲线C的方程；(2)求m的取值范围．解：(1)在曲线C上任取一个动点P(x，y)，那么点(x,2y)在圆x2＋y2＝8上．所以有x2＋(2y)2＝8.整理得曲线C的方程为＋＝1.(2)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，又kOM＝，∴直线l的方程为y＝x＋m.由得x2＋2mx＋2m2－4＝0∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，8/8\n∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，解得－2<m<2且m≠0.∴m的取值范围是－2<m<0或0<m<2.20．(本小题总分值12分)(2022·诸城模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心C.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．解：(1)圆C的方程化为：(x－2)2＋(y＋)2＝6.圆心C(2，－)，半径r＝.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．那么⇒，所以所求椭圆的方程是＋＝1.(2)由(1)得椭圆的左右焦点分别是F1(－2,0)，F2(2,0)，|F2C|＝＝<r＝，F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线，设l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.点C(2，－)到直线l的距离为d＝，由d＝，即＝，化简得5k2＋4k－2＝0，解得k＝或k＝－，故l的方程为x－5y＋2＝0或x＋y＋2＝0.21．(本小题总分值12分)椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0,2)，离心率e＝.(1)求椭圆的方程；(2)直线l：y＝kx－2(k≠0)与椭圆相交于不同的两点M、N，且满足＝，·＝0，求直线l的方程．解：(1)设c＝，依题意得即8/8\n∴a2＝3b2＝12，即椭圆方程为＋＝1.(2)∵＝，·＝0，∴AP⊥MN，且点P是线段MN的中点，由消去y得x2＋3(kx－2)2＝12，即(1＋3k2)x2－12kx＝0，(*)由k≠0，得方程(*)中Δ＝(－12k)2＝144k2>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根．设M(x1，y1)、N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，那么x1＋x2＝，∴x0＝＝.∴y0＝kx0－2＝＝，即P.∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1＝＝.由MN⊥AP，得·k＝－1，∴2＋2＋6k2＝6，解得k＝±，故直线方程为y＝±x－2.22．(本小题总分值14分)抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x＋y－1＝0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|＝.(1)求抛物线的方程；(2)在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？假设存在，求出C点的坐标；假设不存在，请说明理由．解：(1)设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，由消去y，得x2－2(1＋p)x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝2(1＋p)，x1·x2＝1.8/8\n∵|AB|＝，∴＝，∴121p2＋242p－48＝0.∴p＝或－(舍)．∴抛物线的方程为y2＝x.(2)设AB的中点为D，那么D(，－)．假设x轴上存在满足条件的点C(x0,0)，∵△ABC为正三角形，∴CD⊥AB，∴kCD＝1，∴x0＝.∴C(，0)，∴|CD|＝.又∵|CD|＝|AB|＝，故矛盾，∴x轴上不存在点C，使△ABC为正三角形．8/8
