第3讲模拟方法——概率的应用1．(2022·广州模拟)已知地铁列车每10min(含在车站停车时间)一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A. B.C.D.解析：选A.试验的所有结果构成的区域长度为10min，而构成所求事件的区域长度为1min，故P＝.2．(2022·高考湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A．134石B．169石C．338石D．1365石解析：选B.设1534石米内夹谷x石，则由题意知＝，解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．3.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A.B.C.D.解析：选C.当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝，故选C.4．任取实数a、b∈[－1，1]，则a、b满足|a－2b|≤2的概率为( )A.B.C.D.解析：选D.建立如图所示的坐标系，因为|a－2b|≤2，所以－2≤a－2b≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a－2b|≤2的概率为＝.5．(2022·石家庄一模)已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A，B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，5\n用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A.B.C．1－D．1－解析：选C.以O为原点建立平面直角坐标系，如图，测绘受磁场干扰的范围是以原点为圆心，半径为的圆及其内部区域，其方程为x2＋y2＝3，测绘点C所在的轨迹方程为x＋y＝2(0≤x≤2)，因此测绘员获得数据不准确的概率为线段AB在圆内的长度与线段AB长度的比值．因为线段AB的长度为2，而O到线段AB的距离为d＝＝，圆O截线段AB所得的弦的长度为2＝2，所以测绘员获得准确数据的概率为1－，故选C.6．(2022·江西省九校联考)已知P是△ABC所在平面内一点，4＋5＋3＝0，现将一粒红豆随机撒在△ABC内，则红豆落在△PBC内的概率是( )A.B.C.D.解析： 选A.由4＋5＋3＝0可得－3＋4(－)＋5(－)＝0，则有＝＋，设C到AB的距离为d，如图所示，＝，＝，则S△ABC＝×|AB|×d，S△PCE＝×|AB|×d＝S△ABC，S四边形ABPE＝××d＝S△ABC，所以S△PBC＝S△ABC＝S△ABC，结合几何概型可得所求的概率为＝.7.如图，在一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积为________平方米．解析：设该不规则图形的面积为x平方米，向区域内随机地撒1000颗黄豆，5\n数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以根据几何概型的概率计算公式可知＝，解得x＝.答案：8．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则所求概率是.答案：9．(2022·高考重庆卷)在区间[0，5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．解析：因为方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，所以解得<p≤1或p≥2.故所求概率P＝＝.答案：10．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为________．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，则×S四边形ABCD×h＝.又S四边形ABCD＝1，所以h＝.若体积小于，则h<，即点M在正方体的下半部分，所以P＝＝.答案：11.5\n如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．解：(1)圆O的周长为4π，所以弧的长度小于π的概率为＝.(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.1．在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x，y)的概率为( )A.B.C.D.解析：选C.程序中不等式组表示的平面区域如图所示，面积为4×××＝4.满足不等式x2＋y2≤1的点表示的区域如图中阴影部分所示，所占面积为π，所以能输出数对(x，y)的概率为.故选C.2．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．解：(1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.因为x2＋y2＝1的面积S1＝π，故所求概率为P1＝＝.5\n(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，故所求概率为P2＝＝.3．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意＝，得n＝2.(2)①记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12种，其中满足“a＋b＝2”的有4种：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率为P(A)＝＝.②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－.5
