第2讲两直线的位置关系1．已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由k1＝k2，1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2，知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件．2．(2022·石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为( )A．x－y＋1＝0B．x－y＝0C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0解析：选A.由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.3．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )A．－6或B．－或1C．－或D．0或解析：选A.法一：＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或.法二：当A，B两点在直线同侧，则－m＝，即m＝；当A，B两点在直线异侧，则A，B的中点在直线上，即m×＋＋3＝0，即m＝－6.4．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )A．－10B．－2C．0D．8解析：选A.因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.解得m＝－8.又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.5．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )A.B．5C.D．15解析：选B.由题意得，线段P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，因为原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝＝5，所以线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值为5.6．(2022·合肥一模)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )5\nA．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0解析：选B.因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则解得即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0，故选B.7．(2022·河南省安阳高三调研)已知两直线l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2xsinα＋y＋1＝0.①若l1∥l2，则α＝________；②若l1⊥l2，则α＝________．解析：①法一：当sinα＝0时，直线l1的斜率k1不存在，l2的斜率k2为0，显然l1不平行于l2；当sinα≠0时，k1＝－，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－＝－2sinα，即sinα＝±.所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．经检验，α＝kπ±，k∈Z时，l1与l2不重合．故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sinα＝±.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0.即sinα≠－1.所以α＝kπ±，k∈Z.故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.②因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.答案：①kπ±(k∈Z) ②kπ(k∈Z)8．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________．解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．又因为l1与l2的距离是，所以＝，解得b＝1或b＝－3，即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝09．设直线l经过点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．解析：设点B(2，－1)到直线l的距离为d，5\n当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，所以直线l的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.答案：3x－2y＋5＝010.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|等于________．解析：以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，则直线BC方程为x＋y－4＝0，设P(t，0)(0<t<4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线RQ所在直线．由P1、P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝·(x＋t)，设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以有＝·，即3t2－4t＝0.所以t＝0或t＝，因为0<t<4，所以t＝，即|AP|＝.答案：11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．(1)若l1∥l2，求b的取值范围；(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－＋，因为a2≥0，所以b≤0.又因为a2＋1≠3，所以b≠－6.故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2.12．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．解：依题意知，kAC＝－2，A(5，1)，5\n所以lAC为2x＋y－11＝0，联立lAC，lCM得所以C(4，3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.1．(2022·洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D.2．(2022·淮安调研)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.答案：6x－y－6＝03．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以＝3，解得λ＝或λ＝2.所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝|PA|＝.4．A，B两个工厂距一条河分别为400m和100m，A，B两工厂之间距离500m，5\n把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A(0，400)，点B(a，100)．过点B作BC⊥AO于点C.在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300，由勾股定理得BC＝400，所以B(400，100)．点A(0，400)关于x轴的对称点A′(0，－400)，由两点式得直线A′B的方程为y＝x－400.令y＝0，得x＝320，即点P(320，0)．故供水站(点P)在距O点320m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短．5
