第7讲双曲线1．(2022·石家庄一模)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1，故选A.2．(2022·高考福建卷)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )A．11B．9C．5D．3解析：选B.由题意知a＝3，b＝4，所以c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6.所以|PF2|＝9.3．(2022·惠州调研)若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A．±2B．±C．±D．±解析：选B.因为双曲线－＝1的离心率为，所以e＝＝＝，解得＝，所以其渐近线的斜率为±.故选B.4．(2022·高考湖南卷)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.B.C.D.解析：选D.由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，所以＝.7\n又b2＝c2－a2，所以＝，即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.5．(2022·高考四川卷)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )A.B．2C．6D．4解析：选D.由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.6．(2022·太原模拟)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线右支上，且·(＋)＝0(O为坐标原点)，若|F1P|＝|F2P|，则该双曲线的离心率为( )A.＋B.C.＋D.解析：选A.设线段PF1的中点为D，则·(＋)＝·(2)＝0，所以⊥，又因为点O为线段F1F2的中点，所以OD∥PF2，所以F1P⊥PF2，所以|F1P|2＋|PF2|2＝4c2，①又因为点P在双曲线的右支上，所以|F1P|－|PF2|＝2a，②又因为|F1P|＝|PF2|，③联立①②③得e2＝＝，所以e＝＋，故选A.7．已知双曲线－＝1的右焦点的坐标为(，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：依题意知()2＝9＋a，所以a＝4，故双曲线方程为－＝1，则渐近线方程为±＝0.即2x±3y＝0.答案：2x＋3y＝0或2x－3y＝08．已知双曲线－＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆－＝1的焦距等于4，则n＝________．解析：因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为－＝1，7\n即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为＋x2＝1，且n>0，又椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案：59．(2022·高考湖南卷)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．解析：不妨设F(－c，0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c，2b)．又点P在双曲线上，则－＝1，故＝5，即e＝＝.答案：10．(2022·南昌模拟)过原点的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两支分别相交于A，B两点，F(－，0)是双曲线C的左焦点，若|FA|＋|FB|＝4，·＝0，则双曲线C的方程是________．解析：如图所示，设双曲线的右焦点为F2(，0)，连接F2A，F2B，由双曲线的对称性和·＝0知四边形AFBF2为矩形，由|FA|＋|FB|＝4得|FA|＋|AF2|＝4，又因为|FA|－|AF2|＝2a，所以|FA|＝2＋a，|F2A|＝2－a，由|F2A|2＋|FA|2＝(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，得a2＝2，b2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.答案：－y2＝111．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.所以＝3，得a＝3，b＝4，所以双曲线G的方程为－＝1.7\n12．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝2，所以一条渐近线方程为y＝x.即bx－2y＝0.所以＝.所以b2＝3，所以双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.所以所以所以t＝4，点D的坐标为(4，3)．1．(2022·南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )A.x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：选A.由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c＞a，所以有|PF2|＜|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝a，所以b＝＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x， 即x±y＝0.7\n2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是________．解析：c＝，由题意得A(a，0)，F(c，0)，不妨设B，C.由于kAC＝，kAB＝，从而过B且与AC垂直的直线为y－＝(x－c)①.过C且与AB垂直的直线为y＋＝·(x－c)②.①②联立，解得x＝＋c.由题意，得c－<a＋c，即b2<a2，<1.设该双曲线渐近线的斜率为k，则k2<1，又k≠0，所以0<k<1或－1<k<0.答案：(－1，0)∪(0，1)3．(2022·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，所以x0＝y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以点A的坐标为，7\n代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2，②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以3－8＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e＞1，所以e＝，所以双曲线的离心率为.4．直线l：y＝(x－2)和双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝，又l关于直线l1：y＝x对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率e；(2)求双曲线C的方程．解：(1)设双曲线C：－＝1过一、三象限的渐近线l1：－＝0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称，记它们的交点为P，l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，所以tan30°＝＝.于是e2＝＝1＋＝1＋＝，所以e＝.(2)由于＝，于是设双曲线方程为－＝1(k≠0)，即x2－3y2＝3k2.将y＝(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，得x2－3×3(x－2)2＝3k2.化简得到8x2－36x＋36＋3k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝2＝2×＝＝，解得k2＝1.7\n故所求双曲线C的方程为－y2＝1.7
