第7讲立体几何中的向量方法第2课时1．在直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45°C．60°D．90°解析：选C.不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(－1，0，1)，所以＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝60°，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )A.B.C.D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以＝(0，1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，6\n则所以所以n1＝(1，2，2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，若BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为________．解析：如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，E为AC的中点，连接BE，则BE⊥AC，所以BE⊥平面AA1C1C，可得·＝(＋)·＝·＝1××＝＝××cosθ(θ为与的夹角)，所以cosθ＝＝sinα，所以所求角的正切值为tanα＝＝.答案：4.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________．解析：不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，所以＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，所以cos〈，〉＝＝＝＝＞0.所以与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.6\n答案：5．已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点．试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E，F.(1)因为＝(0，1，－1)，＝，所以cos〈，〉＝＝，即AD1与EF所成的角为60°.(2)＝，由图可得，＝(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，所以cosθ＝.即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.6．(2022·高考重庆卷)如图，三棱锥PABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值．解：(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE平面ABC，得PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝，得△CDE为等腰直角三角形，6\n故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.(2)由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝.如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1.又已知EB＝1，故FB＝2.由∠ACB＝，得DF∥AC，＝＝，故AC＝DF＝.以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，3)，＝.设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·＝0，n1·＝0，得故可取n1＝(2，1，1)．由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1，0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝，故所求二面角APDC的余弦值为.1.(2022·山西省考前质量检测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD＝AB＝1，BC＝.(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足＝2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值．解：(1)证明：由AD⊥CD，AB∥CD，AD＝AB＝1，可得BD＝.又BC＝，所以CD＝2，所以BC⊥BD.6\n因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，又PD∩BD＝D，所以BC⊥平面PBD，又BC平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC.(2)由(1)可知∠BPC为PC与平面PBD所成的角，所以tan∠BPC＝，所以PB＝，PD＝1.由＝2及CD＝2，可得CH＝，DH＝.以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即取y1＝－3，则n＝(1，－3，－2)．设平面PBC的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝1，则m＝(1，1，2)．又cos〈m，n〉＝＝－，故二面角HPBC的余弦值为.2．(2022·河南省六市联考)如图①，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②.(1)求证：AD⊥BM；6\n(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为.解：(1)证明：连接BM，则AM＝BM＝，AM2＋BM2＝AB2，所以AM⊥BM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，所以BM⊥平面ADM，因为AD平面ADM，所以BM⊥AD.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，由(1)可知，平面ADM的一个法向量m＝(0，1，0)，设平面AME的一个法向量为n＝(x，y，z)，则因为A(，0，0)，B(0，，0)，D，M(0，0，0)，＝，设＝λ，得E，＝(，0，0)，＝，则解得n＝(0，1－λ，－2λ)，二面角EAMD的余弦值为，即＝，得λ＝，即E为DB的中点时满足．6
