第3讲平行关系1．(2022·河北省衡水中学调研)已知空间直线l不在平面α内，则“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.因为直线l不在平面α内，且直线l上有两个点到平面α的距离相等，所以直线l∥α或l与α相交．当l与α平行时，此时存在两点到平面α的距离相等．所以“直线l上有两个点到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．2．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，所有的点C( )A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面解析：选D.根据平面平行的性质，不论A，B如何运动，动点C均在与α，β都平行的平面上．3．(2022·惠州模拟)已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列条件能推出α∥β的是( )A．lα，mα，且l∥β，m∥βB．lα，mβ，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥m解析：选C.借助正方体模型进行判断．易排除选项A，B，D，故选C.4．(2022·东莞模拟)已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若m，n为异面直线，nα，n∥β，mβ，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是( )A．3个 B．2个C．1个D．0个解析：选B.①若n⊥α，n⊥β，则n为平面α与β的公垂线，则α∥β，故①正确；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，三点可能在平面β的异侧，此时α与β相交，故②错误；③若n，m为异面直线，nα，n∥β，mβ，m∥α，根据面面平行的判定定理，可得③正确．故选B.5．(2022·长沙模拟)用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b.其中真命题的序号是( )A．①②B．③C．①③D．②解析：选D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交或a与c异面，所以①是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以②是真命题；若a∥γ，b∥γ，则a∥b或a与b相交或a与b异面，所以③是假命题，故选D.6.5\n如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．7.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．解析：在平面ABD中，＝，所以MN∥BD.又MN⃘平面BCD，BD平面BCD，所以MN∥平面BCD.答案：平行8．棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．解析：由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.答案：9．设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，aγ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.答案：①或③10．(2022·周口一模)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过P点的两条直线AC，BD分别交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为________．解析：若P在α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB∥CD，则＝＝，可求得CD＝20；若P在α，β之间，则＝＝可求得CD＝4.答案：20或411.5\n如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⃘平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⃘平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.12.如图，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时＝1.连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1⃘平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.所以＝，＝.5\n又因为＝1，所以＝1，即＝1.1．(2022·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选D.A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以＝＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以＝＝，所以PM＝BD，又BD＝a，所以PQ＝a.答案：a3.(2022·山西省调研)如图，在四棱锥PABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD5\n⊥平面ABCD.(1)求证：AC⊥PD；(2)在线段PA上，是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，又AC⊥CD，所以AC⊥平面PCD，因为PD平面PCD，所以AC⊥PD.(2)在线段PA上，存在点E，使BE∥平面PCD.因为AD＝3，所以在△PAD中，存在EF∥AD(E，F分别在AP，PD上)，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC＝EF，且使EF＝1，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE∥CF，BE⃘平面PCD，CF平面PCD，所以BE∥平面PCD，因为EF＝1，AD＝3，所以＝＝.4.(2022·阜阳月考)如图，在三棱锥ABOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，BC＝，D，E分别为AB，OB的中点．(1)求证：CO⊥平面AOB；(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AO⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO，即△AOC与△AOB为直角三角形．又因为∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，所以OB＝OC＝1.由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，可知△BOC为直角三角形．所以CO⊥BO，又因为AO∩BO＝O，所以CO⊥平面AOB.(2)在线段CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．证明如下，如图，连接DF，EF，因为D，E分别为AB，OB的中点，所以DE∥OA.又DE⃘平面AOC，所以DE∥平面AOC.因为E，F分别为OB，BC的中点，所以EF∥OC.又EF⃘平面AOC，所以EF∥平面AOC，又EF∩DE＝E，EF平面DEF，DE平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.5
