第4讲垂直关系1．若a，b表示两条不同的直线，α表示平面，a⊥α，b∥α，则a与b的关系为()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.因为b∥α，所以在α中必有一条直线c与b平行，因为a⊥α，所以a⊥c，所以a⊥b.2．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．3．(2022·南昌调研)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D.由线面平行、垂直之间的转化知A、B正确；对于C，因为m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又nβ，所以β⊥α，即C正确；对于D，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m与n是异面直线，故D项不正确．4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()解析：选A.A中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD夹角的正切值为2.5．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α∥β，aα，bβ，则a∥bB．若a∥α，b⊥β，且α⊥β，则a∥bC．若a⊥α，a∥b，b∥β，则α⊥βD．若a⊥b，aα，bβ，则α⊥β解析：选C.若α∥β，aα，bβ，则直线a与b可能平行或异面，所以A错误；若a∥α，b⊥β，且α⊥β，则直线a与b可能平行或相交或异面，所以B错误；若a⊥α，a∥b，b∥β，则α⊥β，所以C正确；若a⊥b，aα，bβ，则α与β相交或平行，所以D错误．故选C.6．(2022·九江模拟)1\n如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：选C.因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于27.答案：278．(2022·无锡质检)已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，若把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．解析：若把α，β换为直线a，b，则命题转化为“a∥b且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若把α，γ换为直线a，b，则命题转化为“a∥β且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若把β，γ换为直线a，b，则命题转化为“a∥α且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．答案：29．四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两互相垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5对．答案：510．已知a、b、l表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，l⃘α，则l⊥α.其中正确命题的序号是________．解析：若平面α、β、γ两两相交于三条直线，则有交线平行，故①不正确．因为a、b相交，假设其确定的平面为γ，根据a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正确．由面面垂直的性质定理知③正确．当a∥b时，l垂直于平面α内两条不相交直线，不能得出l⊥α，④错误．答案：②③11．(2022·高考课标全国卷Ⅰ)2\n如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABCA1B1C1的高．解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB平面ABO，故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．3又BC＝1，可得OD＝.411由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.2222721由OH·AD＝OD·OA，且AD＝OD＋OA＝，得OH＝.4142121又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.7712．(2022·高考安徽卷)如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.(1)求三棱锥PABC的体积；PM(2)证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．MC解：(1)由题设AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，13可得S△ABC＝·AB·AC·sin60°＝.22由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高．又PA＝1，13所以三棱锥PABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.363\n(2)在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM平面MBN，所以AC⊥BM.13在直角△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，从而NC＝AC－AN＝.22PMAN1由MN∥PA，得＝＝.MCNC31．(2022·山西、河南、河北三省监测)在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2AB，F为棱CE上异于点C，E的动点，则下列说法正确的有()①直线DE与平面ABF平行；②当F为CE的中点时，BF⊥平面CDE；③存在点F使得直线BF与AC平行；④存在点F使得DF⊥BC.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.因为AB、DE都垂直平面ACD，所以DE∥AB，因为AB平面ABF，所以DE∥平面ABF，①正确；当F为CE的中点时，取CD的中点G，连接AG，FG，于是FG∥DE，则AB∥FG，且1FG＝DE＝AB，所以四边形ABFG为平行四边形，则AG∥BF，又AC＝AD，所以AG⊥CD，又DE⊥2平面ACD，AG平面ACD，所以AG⊥DE，因为CD∩DE＝D，所以AG⊥平面CDE，则BF⊥平面CDE，②正确；因为AC与平面CBE交于C，而BF在平面CBE内，所以直线BF与AC不可能平行，所以③错；连接DF，当F为CE中点时，由②知BF⊥平面CDE，而DF平面CDE，则DF⊥BF，而CD＝DE，所以DF⊥CE，BF∩CE＝F，于是DF⊥平面CBE，BC平面CBE，则DF⊥BC，④正确，综上，正确的说法共有3个．2.4\n点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥AD1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．解析：连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，连接OO1，则OO1∥BC1.所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，所以三棱锥PAD1C的体积不变．又VPAD1C＝VAD1PC，所以①正确．连接A1B，A1C1，因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1，显然③不正确；连接B1D，由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，所以DB1⊥平面AD1C，DB1平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．答案：①②④3．(2022·高考北京卷)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⃘平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.5\n(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1.所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝3.又因为OC⊥平面VAB，13所以三棱锥CVAB的体积等于OC·S△VAB＝.333又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.34．(2022·青岛质检)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解：(1)证明：由直四棱柱ABCDA1B1C1D1，得BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD.因为BD平面A1BD，B1D1⃘平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.(2)证明：因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC.又因为BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，因为MD平面BB1D1D，所以MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于点O，连接BN，OM，如图所示．因为N是DC的中点，BD＝BC，所以BN⊥DC.又因为DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，平面ABCD⊥平面DCC1D1，所以BN⊥平面DCC1D1.由题意可得O是NN1的中点，所以BM∥ON且BM＝ON，即四边形BMON是平行四边形．所以BN∥OM.所以OM⊥平面CC1D1D.6\n因为OM平面DMC1，所以平面DMC1⊥平面CC1D1D.7
