第2讲等差数列及其前n项和1．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于( )A．1 B．－1C．－2D．3解析：选C.由题意可得S3＝3a1＋3d＝12＋3d＝6，解得d＝－2，故选C.2．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为( )A．24B．39C．104D．52解析：选D.因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48，所以a4＋a10＝8，其前13项的和为＝＝＝52，故选D.3．(2022·新余质检)在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝( )A．24B．48C．66D．132解析：选D.数列{an}是等差数列，故a6＋3d＝(a6＋6d)＋6，所以a6＝12.又S11＝＝11a6，所以S11＝132.4．(2022·淮北、淮南模拟)如果等差数列{an}中，a1＝－11，－＝2，则S11＝( )A．－11B．10C．11D．－10解析：选A.由Sn＝na1＋d，得＝a1＋d，由－＝2，得a1＋d－＝2，解得d＝2，＝a1＋d＝－11＋5×2＝－1，所以S11＝－11.5．(2022·江西省白鹭洲中学高三模拟)等差数列{an}中＜－1，它的前n项和Sn有最大值，则当Sn取得最小正值时，n＝( )A．17B．18C．19D．20解析：选A.由题意知，a1＞0，d＜0，因为＜－1，所以a10＜－a9＜0，即2a1＜－17d.所以S18＝＝＜0，S17＝＝＝(a1＋8d)×17＞0.故选A.6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为( )A．{5}B．{6}C．{5，6}D．{7}解析：选C.在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0，得4\nS10＝>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，S11＝＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，所以k＝5或6.7．(2022·淮北质检)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝__________．解析：由题意知解得所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.答案：－18．(2022·驻马店调研)若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－4，则an＝________．解析：由3an＋1＝3an－4，得an＋1－an＝－，所以{an}是等差数列，首项a1＝15，公差d＝－，所以an＝15－(n－1)＝.答案：9．(2022·东北三校联考)已知正项数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＋＝2，则a12＝________．解析：因为＋＝2，所以＋＝，所以为等差数列，且首项为＝，公差为－＝，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝，所以a12＝.答案：10．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围为________． 解析：依题意得bn＝1＋，对任意的n∈N*，都有bn≥b8，即数列{bn}的最小项是第8项，于是有≥.又数列{an}是公差为1的等差数列，因此有即由此解得－8＜a＜－7，即实数a的取值范围是(－8，－7)． 答案：(－8，－7)11．(2022·无锡质检)已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求Sn；(2)证明：数列{an}是等差数列．解：(1)设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则4\n解得A＝2，B＝－4，C＝0，故Sn＝2n2－4n.(2)证明：当n＝1时，a1＝S1＝－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4n－6，a1＝－2也满足．故an＝4n－6(n∈N*)．因为an＋1－an＝4，所以数列{an}成等差数列．12．各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．(1)求a1，a2的值．(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)a＝4Sn－2an－1，①a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②②－①得a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．因为数列{an}各项均为正数，所以an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．所以an＝2n－1.1．(2022·唐山统考)若等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0，22]，则使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是( )A．9B．10C．11D．12解析：选C.法一：因为关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0，22]，所以c＝0，22＝，且＜0，即a1＝－d＞0，则Sn＝n2＋n＝n2－11dn，所以在对称轴n＝11处，Sn取得最大值．法二：因为关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0，22]，所以c＝0，22＝，且＜0，即a1＝－d＞0，则a11＝a1＋10d＝－＞0，a12＝a1＋11d＝＜0，故使数列{an}的前n项和Sn最大的正整数n的值是11.2．(2022·河北省衡水中学模拟)有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为amk(m，k＝1，2，3，…，n，n≥3)，公差为dm，并且a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列．若dm＝p1d1＋p2d2(3≤m≤n，p1，p2是m的多项式)，则p1＋p2＝________．解析：由题意知amn＝1＋(n－1)dm，则a2n－a1n＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)·(d2－d1)，同理，a3n－a2n＝(n－1)·(d3－d2)，a4n－a3n＝(n－1)(d4－d3)，…，ann－a(n－1)n＝(n－1)·(dn－dn－1)．又因为a1n，a2n，a3n，…，ann成等差数列，所以a2n－a1n＝a3n－a2n＝…＝ann－a(n－1)n，故d2－d1＝d3－d2＝…＝dn－dn－1，即{dn}是公差为d2－d1的等差数列，所以dm＝d1＋(m－1)(d2－d1)＝(2－m)d1＋(m－1)d2.令p1＝2－m，p2＝m－1，则dm＝p1d1＋p2d2，此时p1＋p2＝1.4\n答案：13．(2022·宿州模拟)已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．(1)设函数y＝f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图像的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.解：(1)证明：因为f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，所以an＝3n－8，因为an＋1－an＝3(n＋1)－8－(3n－8)＝3，所以数列{an}为等差数列．(2)由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|，所以当1≤n≤2时，bn＝8－3n，Sn＝b1＋…＋bn＝＝＝；当n≥3时，bn＝3n－8，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋(3n－8)＝7＋＝.所以Sn＝4．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝10，an＋1＝9Sn＋10.(1)求证：{lgan}是等差数列；(2)设Tn是数列的前n项和，求Tn；(3)在(2)的条件下，求使Tn>(m2－5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．解：(1)证明：依题意，a2＝9a1＋10＝100，故＝10.当n≥2时，an＋1＝9Sn＋10，an＝9Sn－1＋10，两式相减得an＋1－an＝9an，即an＋1＝10an，＝10，故{an}为等比数列，且an＝a1qn－1＝10n(n∈N*)，所以lgan＝n.所以lgan＋1－lgan＝(n＋1)－n＝1，即{lgan}是等差数列．(2)由(1)知，Tn＝3＝3＝3－.(3)因为Tn＝3－，所以当n＝1时，Tn取最小值.依题意有>(m2－5m)，解得－1<m<6，故所求整数m的取值集合为{0，1，2，3，4，5}．4
