第六章数列\n第二讲 等差数列及其前n项和\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 等差数列的有关概念(1)等差数列的定义如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，通常用字母___表示，定义的表达式为________________________.(2)等差中项如果a，A，b成等差数列，那么___叫做a与b的等差中项且_______.2同一个常数公差dan＋1－an＝d(n∈N*)A\n(3)通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝_______________＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(4)前n项和公式：Sn＝_____________＝_______.a1＋(n－1)d\n知识点二 等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝________.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为____.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．ap＋aqkd\na中\n倒序相加法\n4．在遇到三个数成等差数列时，可设其为a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a－d，a，a＋d，a＋2D．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()(4)若{an}，{bn}都是等差数列，则数列{pan＋qbn}也是等差数列．()×√×√\n[解析](1)同一个常数．(2)因为在等差数列{an}中，当公差d>0时，该数列是递增数列，当公差d<0时，该数列是递减数列，当公差d＝0时，该数列是常数数列，所以命题正确．(3)常数列的前n项和公式为一次函数．(4)设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则pan＋1＋qbn＋1－(pan＋qbn)＝p(an＋1－an)＋q(bn＋1－bn)＝pd1＋qd2(与n值无关的常数)，即数列{pan＋qbn}．也是等差数列．\n题组二 走进教材2．(选修2P15例2改编)已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为_____[解析]依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.487\n3．(选修2P24习题4.2T1改编)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝_____.126\nA\n\n题组三 走向高考5．(2020·课标Ⅱ，14,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝____.25\n6．(2019·北京，10,5分)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝___，Sn的最小值为______.0－10\n\n考点突破·互动探究\n例1A考点一等差数列的基本运算——自主练透\nDC\n(4)(2020·新高考Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为_________.3n2－2n\n\n\n\n解法二：(引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一．\n等差数列基本量的求法(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．MINGSHIDIANBO\n例2考点二等差数列的判定与证明——师生共研\n\n\n等差数列的判定方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.MINGSHIDIANBO\n提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法证明，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项an，an＋1，an＋2使得这三项不满足2an＋1＝an＋an＋2即可．各项不同号的等差数列各项的绝对值不构成等差数列，但其前n项和可用等差数列前n项和公式分段求解，分段的关键是找出原等差数列中变号的项．\n〔变式训练1〕1．(变设问)本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．\n\n\n\n角度1等差数列项的性质(1)(2022·广州市阶段训练)已知{an}是等差数列，a3＝5，a2－a4＋a6＝7，则数列{an}的公差为()A．－2B．－1C．1D．2例3D考点三等差数列性质的应用——多维探究\nD\nA\n[分析]由于确定等差数列需两个条件，而这三个小题都只有一个条件，故可确定a1与d的关系式，将其整体代入即可解决问题，但更简捷的方法是直接利用等差数列性质am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q求解(注意项数不变，脚标和不变)．\n\nMINGSHIDIANBO\n角度2等差数列前n项和性质(1)(2022·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝()A．7B．8C．9D．10B例4\nA\n\n\n\n\n\nMINGSHIDIANBO\n238C\n(3)(角度2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝_____.114\n(3)因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.\n名师讲坛·素养提升\n与等差数列前n项和Sn有关的最值问题(1)(2022·吉林市调研)设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝()A．6B．7C．10D．9例5B\n[分析](1)由S5＝S9可求得a1与d的关系，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为负，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解；(2)利用Sn>0⇔a1＋an>0求解．B\n\n\n\n\n[引申]①本例(1)中若将“S5＝S9”改为“S5＝S10”，则当Sn取最大值时n＝______；②本例(1)中，使Sn<0的n的最小值为____；③本例(2)中，使Sn取最大值时n＝____.7或81510\n\n求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：MINGSHIDIANBO\n〔变式训练3〕(1)(2021·长春市模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时的n的值为()A．6B．7C．8D．9(2)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____________.C\n
