第9讲函数与方程1．(2022·皖北四校联考(一))已知函数y＝f(x)的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )A．2个 B．3个C．4个D．5个解析：选B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有3个．2．(2022·太原模拟)已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )A．(－2，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，2)解析：选B.因为a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(x)为增函数，f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．3．(2022·周口模拟)已知函数f(x)＝－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值( )A．恒为正值B．等于0C．恒为负值D．不大于0解析：选A.注意到函数f(x)＝－log3x在(0，＋∞)上是减函数，因此当0<x1<x0时，有f(x1)>f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即此时f(x1)的值恒为正值，故选A.4．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4解析：选B.令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．5．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c则( )A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．c<a<b解析：选B.由于f(－1)＝－1＝－<0.f(0)＝1>0，4\n且f(x)为递增函数，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)．因为g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2；因为h＝－1＋＝－<0，h(1)＝1>0.且h(x)为递增函数，所以h(x)的零点c∈，因此a<c<b.6．(2022·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．[－1，1)B．[0，2]C．[－2，2)D．[－1，2)解析：选D.由题意知g(x)＝因为g(x)有三个不同的零点，所以2－x＝0在x>a时有一个解，由x＝2得a<2.由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，则由x≤a得a≥－1.综上，a的取值范围为[－1，2)，所以选D.7．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解析：设至少需要计算n次，由题意知<0.001，即2n>100，由26＝64，27＝128知n＝7.答案：78．已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为________．解析：令g(x)＝0，得f(x)＝，所以或解得x＝－1或x＝或x＝，故函数g(x)＝f(x)－的零点所构成的集合为.答案：9．(2022·合肥模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：当f·f(3)<0时，函数在区间上有且仅有一个零点，即(10－3a)<0，解得<a<；4\n当时，函数在区间上有一个或两个零点，解得2≤a<；当a＝时，函数的零点为和2，符合题意；当a＝时，函数的零点为或3，不符合题意，综上a的取值范围是.答案：10．(2022·河北省衡水中学模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝logx，记函数h(x)＝则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．解析：由题意知函数h(x)的图像如图所示，易知函数h(x)的图像关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图像交点横坐标的和，设图像交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图像的交点关于直线y＝x对称，所以＝5－所以x1＋x2＝5.答案：511．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)．1．(2022·南宁模拟)已知函数f(x)＝lnx＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________． 解析：因为f(2)＝ln2＋6－8＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋9－8＝ln3＋1>0，且函数f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，所以x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3.所以a＋b＝5.答案：52．(2022·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝(1)求g[f(1)]的值；4\n(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图像有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图像(图略)，由图像可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.3．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4lnx的零点个数．解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)因为g(x)＝－4lnx＝x－－4lnx－2(x>0)，所以g′(x)＝1＋－＝.令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)↗极大值↘极小值↗当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0.又因为g(x)在(3，＋∞)上递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点．4
