第5讲二次函数与幂函数1．(2022·蚌埠一模)设a>0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是增函数”是“函数g(x)＝xa在R上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.由函数f(x)＝ax在R上是增函数知，a>1；当a＝时，g(x)的定义域为[0，＋∞)，不能满足g(x)＝xa在R上是增函数；而当a＝时，g(x)＝x在R上是增函数，此时f(x)＝在R上是减函数，故选D.2．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是( )A．－4 B．4C．－2D．2解析：选A.二次函数图像的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( )A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B．在(－∞，3)上递增C．在[1，3]上递增D．单调性不能确定解析：选A.由已知可得该函数的图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．4．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则( )A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x解析：选D.幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，且2<e<3，所以<<，所以<z<，即<z<1.又y＝log52<log5＝，x＝lnπ>lne＝1，故y<z<x.5．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[0，4]D．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图像的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上是递增的，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4，故选C.6．(2022·西安八校联考)已知0<m<n<1，且1<a<b，则下列各式一定成立的是( )A．bm>anB．bm<anC．mb>naD．mb<na解析：选D.令f(x)＝xa，因为a>1，所以f(x)在(0，＋∞)上是递增的，因为0<m<n<1，所以ma<na；令g(x)＝mx，因为0<m<1，所以g(x)在R上是递减的．因为1<a<b，所以ma>mb，所以mb<ma<na，所以mb<na，故选D.3\n7．已知二次函数的图像过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图像过点(0，1)，所以4a－1＝1，所以a＝.所以f(x)＝(x－2)2－1.答案：f(x)＝(x－2)2－18．(2022·南昌调研)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________． 解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.答案：－1或39．已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)<f(5)，则m＝________．解析：因为f(x)是偶函数，所以－2m2＋m＋3应为偶数．又f(3)<f(5)，即3－2m2＋m＋3<5－2m2＋m＋3，整理得<1，所以－2m2＋m＋3>0，解得－1<m<.又m∈Z，所以m＝0或1.当m＝0时，－2m2＋m＋3＝3为奇数(舍去)；当m＝1时，－2m2＋m＋3＝2为偶数．故m的值为1.答案：110．(2022·北京丰台区统一练习)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________． 解析：函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，可转化为函数y＝f(x)与函数y＝m的图像有四个交点，作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，可知当m∈(－1，0)时满足要求．答案：(－1，0)11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．3\n1．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图像不可能是( )解析：选D.由四个选项知，图像与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1＝x2，由于a＝c，所以x1x2＝＝1，比较四个选项，可知选项D的x1<－1，x2<－1，所以D不满足．2．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，所以⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；当0＜a≤1时，⇒a不存在；当a＞1时，f(x)在[－1，1]上为减函数，所以⇒a不存在．综上可得，a＝－1.所以存在实数a＝－1满足题设条件．3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．3
