第8讲函数的图象1．(2022·陕西一模)函数f(x)＝ln的图像是( )解析：选B.由x－>0得函数f(x)的定义域为(－1，0)∪(1，＋∞)，可排除选项A、D；当x→＋∞时，函数f(x)的函数值大于零，可排除选项C，故选B.2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝g(x)的图像与y＝ex的图像关于直线y＝x对称．而函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像关于y轴对称，若f(m)＝－1，则m的值是( )A．－e B．－C．eD.解析：选B.由题意知g(x)＝lnx，则f(x)＝ln(－x)，若f(m)＝－1，则ln(－m)＝－1，解得m＝－.3．(2022·江西省五校联考)已知函数f(x)＝x2－，则函数y＝f(x)的大致图像为( )解析：选A.由f(－x)＝x2＋≠－f(x)可知函数f(x)不是奇函数，排除B、C，当x∈(0，1)时，f(x)＝x2－，因为当x∈(0，1)时，y＝lnx<0，则f(x)>0，排除D，故选A.4．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.5\n将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上递减．5．(2022·唐山高三月考)为了得到函数y＝log2的图像，可将函数y＝log2x的图像上所有的点( )A．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，再向右平移1个单位B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移1个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，再向右平移1个单位解析：选A.y＝log2＝log2(x－1)＝log2(x－1)，由y＝log2x的图像纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得y＝log2x的图像，再向右平移1个单位，可得y＝log2(x－1)的图像，也即y＝log2的图像．6．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是( )A．(－1，0)B．[－1，0)C．(－2，0)D．[－2，0)解析：选A.在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.7.如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于________．解析：由图像知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.答案：28．若函数y＝f(x＋3)的图像经过点P(1，4)，则函数y＝f(x)的图像必经过点________．解析：法一：函数y＝f(x)的图像是由y＝f(x＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的．5\n故y＝f(x)的图像经过点(4，4)．法二：由题意得f(4)＝4成立，故函数y＝f(x)的图像必经过点(4，4)．答案：(4，4)9．已知图(1)中的图像对应的函数为y＝f(x)，则图(2)中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________(填序号)．①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．解析：由题图(1)和题图(2)的关系可知，题图(2)是由题图(1)在y轴左侧的部分(含原点)及其关于y轴对称的图形构成的，故④正确．答案：④10．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)11．已知函数f(x)＝.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．解：(1)f(x)＝＝1－，函数f(x)的图像是由反比例函数y＝－的图像向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图像如图所示．(2)由图像可以看出，函数f(x)有两个增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．解：f(x)＝作出函数图像如图．5\n(1)由图像知函数的增区间为[1，2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图像，使两函数图像有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m＜1，所以M＝{m|0＜m＜1}．1.函数f(x)的图像如图所示，若函数y＝2f(x－1)－c与x轴有四个不同交点，则c的取值范围是( )A．(－1，2.5)B．(－1，5)C．(－2，2.5)D．(－2，5)解析：选D.函数y＝2f(x－1)－c与x轴有四个不同交点，即方程2f(x－1)－c＝0有四个不同的解，即y＝f(x－1)与y＝c有四个不同的交点．因为函数y＝f(x－1)与函数y＝f(x)上下分布相同，所以可以把问题转化为c取何值时，曲线y＝f(x)与y＝c有四个不同的交点，结合图形可知c∈(－2，5)．2．(2022·深圳质检)设函数y＝，关于该函数图像的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；②任意两点的连线都不平行于y轴；③关于直线y＝x对称；④关于原点中心对称．其中正确的是________．解析：y＝＝＝2＋，图像如图所示．可知②③正确．答案：②③3．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图像；(3)根据图像指出f(x)的递减区间；(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；(5)求当x∈[1，5)时函数的值域．解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.(2)由(1)得f(x)＝x|4－x|5\n＝f(x)的图像如图所示．(3)f(x)的递减区间是[2，4]．(4)由图像可知，f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}．(5)因为f(5)＝5>4，所以由图像知，函数在[1，5)上的值域为[0，5)．4．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证：y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称；(2)若函数f(x)＝log2|ax－1|的图像的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．解：(1)证明：设P(x0，y0)是y＝f(x)图像上任意一点，则y0＝f(x0)．设P点关于x＝m的对称点为P′，则P′的坐标为(2m－x0，y0)．由已知f(x＋m)＝f(m－x)，得f(2m－x0)＝f[m＋(m－x0)]＝f[m－(m－x0)]＝f(x0)＝y0.即P′(2m－x0，y0)在y＝f(x)的图像上．所以y＝f(x)的图像关于直线x＝m对称．(2)对定义域内的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立．所以|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立．又因为a≠0，所以2a－1＝0，得a＝.5
