第6讲指数与指数函数1．(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝的图像( )A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选D.f(x)＝＝ex＋，因为f(－x)＝e－x＋＝ex＋＝f(x)，所以f(x)是偶函数，所以函数f(x)的图像关于y轴对称．2．(2022·高考山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A．a<b<cB．a<c<bC．b<a<cD．b<c<a解析：选C.因为指数函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.60.6>0.61.5，即a>b，又0<0.60.6<1，1.50.6>1，所以a<c，故选C.3．化简(a>0，b>0)的结果是( )A．aB．abC．a2bD.解析：选D.原式＝＝a－－－·b＋－＝.4．(2022·北京丰台区一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图像如图所示，那么g(x)＝( )A.B．－C．2－xD．－2x解析：选D.由题图知f(1)＝，所以a＝，f(x)＝，由题意得g(x)＝－f(－x)＝－＝－2x.5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的递减区间是( )A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]5\n解析：选B.由f(1)＝得a2＝，所以a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.6．(2022·丽水模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )A．(－2，1)B．(－4，3)C．(－1，2)D．(－3，4)解析：选C.原不等式变形为m2－m<，因为函数y＝在(－∞，－1]上是减函数，所以≥＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<恒成立，等价于m2－m<2，解得－1<m<2.7．计算：×＋8×－＝________．解析：原式＝×1＋2×2－＝2.答案：28．已知正数a满足a2－2a－3＝0，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系为________．解析：因为a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1(舍去)．故函数f(x)＝ax在R上递增，由f(m)＞f(n)，得m＞n.答案：m＞n9．(2022·太原质检)已知函数f(x)＝，g(x)＝－m，若存在x1∈[1，3]，对任意的x2∈[－1，1]，都有f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________． 解析：对于f(x)＝＝－，x∈[1，3]，令＝t，则t∈.G(t)＝t－t2＝－＋，t∈，故G(t)有最大值，即f(x)max＝.而g(x)＝－m在[－1，1]上递减，所以g(x)max＝g(－1)＝2－m.题目中“存在x1∈[1，3]，对于任意的x2∈[－1，1]都有f(x1)≥g(x2)”等价于f(x)max≥g(x)max，即≥2－m，故m≥.答案：10．(2022·济宁月考)已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，>0，则a的取值范围是________．5\n解析：当0<a<1时，a－2<0，y＝ax递减，所以f(x)递增；当1<a<2时，a－2<0，y＝ax递增，所以f(x)递减；当a＝2时，f(x)＝0；当a>2时，a－2>0，y＝ax递增，所以f(x)递增．又由题意知f(x)递增，故a的取值范围是(0，1)∪(2，＋∞)．答案：(0，1)∪(2，＋∞)11．求下列函数的定义域和值域．(1)y＝；(2)y＝.解：(1)显然定义域为R.因为2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，且y＝为减函数．所以≥＝.故函数y＝的值域为.(2)由32x－1－≥0，得32x－1≥＝3－2，因为y＝3x为增函数，所以2x－1≥－2，即x≥－，此函数的定义域为，由上可知32x－1－≥0，所以y≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．12．已知函数f(x)＝a|x＋b|(a>0，a≠1，b∈R)．(1)若f(x)为偶函数，求b的值；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．解：(1)因为f(x)为偶函数，所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.(2)记h(x)＝|x＋b|＝①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2.②当0<a<1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2.1．(2022·高考山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)解析：选C.因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－.化简可得a＝1，则＞3，即－3＞0，即＞0，故不等式可化为5\n＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C.2．(2022·北京朝阳区一模)记x2－x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是________． 解析：由题可知，函数y＝2|x|，x∈[－2，a](a≥0)，由图像可知，m＝1，当0≤a≤2时，函数的最大值为f(－2)＝f(2)＝4，函数的值域为[1，4]．当a>2时，函数的值域为[1，f(a)]．因为f(a)>f(2)＝4，所以区间[m，n]的长度的最小值为4－1＝3.答案：33．已知函数f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，＋∞)上递减，而y＝在R上递减，所以f(x)在(－∞，－2)上递减，在(－2，＋∞)上递增，即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.4．设f(x)＝(a>0，b>0)．(1)当a＝b＝1时，证明：f(x)不是奇函数；(2)设f(x)是奇函数，求a与b的值；(3)求(2)中函数f(x)的值域．解：(1)证明：当a＝b＝1时，f(x)＝，f(1)＝＝－，f(－1)＝＝，所以f(－1)≠－f(1)，故f(x)不是奇函数．(2)当f(x)是奇函数时，有f(－x)＝－f(x)，即＝－对任意实数x成立．化简整理得(2a－b)·22x＋(2ab－4)·2x＋(2a－b)＝0，这是关于x的恒等式，所以所以(舍去)或5\n(3)由(2)得f(x)＝＝－＋.因为2x>0，所以2x＋1>1，0<<1，从而－<f(x)<，所以函数f(x)的值域为.5
