课时提升练(三十六) 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．(2022·课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图7212所示，则该几何体的体积为( )图7212A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【解析】 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.【答案】 A2．(2022·广州模拟)已知一个几何体的三视图如图7213所示(单位：cm)，那么这个几何体的侧面积是( )图7213A．(1＋)cm2B．(3＋)cm2C．(4＋)cm2D．(5＋)cm2【解析】 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4＋)cm2.故选C.7\n【答案】 C3．(2022·辽宁高考)某几何体三视图如图7214所示，则该几何体的体积为( )图7214A．8－2πB．8－πC．8－D．8－【解析】 这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V＝23－×π×12×2×2＝8－π.【答案】 B4．(2022·课标全国卷Ⅱ)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为( )A．3 B.C．1 D.【解析】 如图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，S△DB1C1＝×2×＝.又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD7\n为三棱锥AB1DC1底面上的高．∴V三棱锥AB1DC1＝S△DB1C1·AD＝××＝1.【答案】 C5．(2022·重庆高考)某几何体的三视图如图7215所示，则该几何体的表面积为( )图7215A．180 B．200C．220 D．240【解析】 等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S底＝×(8＋2)×4×2＝40，S侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S表＝40＋200＝240，故选D.【答案】 D6．(2022·石家庄模拟)一个正三棱柱的侧视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于( )图7216A．8π B.C．9π D.【解析】 因为正三棱柱ABCDEF的侧视图是边长为的正方形，所以正三棱柱的高为，正三角形的高也是.设它的外接球的球心为O，半径为R，底面△ABC的中心为G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，即OG＝.又GA是正三角形ABC的高的，所以GA＝.在△OGA中，由勾股定理得R2＝OG2＋GA2，7\n解得R2＝.所以外接球的表面积为4πR2＝，故选B.【答案】 B二、填空题7．(2022·陕西高考)某几何体的三视图如图7217所示，则其表面积为________．图7217【解析】 由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.【答案】 3π8．(2022·天津高考)一个几何体的三视图如图7218所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图7218【解析】 根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4m，高为2m的圆锥，下部是一个底面直径为2m，高为4m的圆柱．故该几何体的体积V＝π×22×2＋π×12×4＝π(m3)．【答案】 π7\n9．(2022·福州模拟)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．【解析】 如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.由题意得πr2＝×4πR2.∴r2＝R2，根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且AB⊥O1C.∴OO1＝＝R，因此体积较小的圆锥的高AO1＝R－R＝，体积较大的圆锥的高BO1＝R＋＝R.且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为.【答案】 三、解答题10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．【解】 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π(r)2·3r－πr3＝πr3，将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积为7\nV′＝π2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r.11．如图7219，已知平行四边形ABCD中，BC＝2，BD⊥CD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点．记CD＝x，V(x)表示四棱锥FABCD的体积．图7219(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.∵BD⊥CD，BC＝2，CD＝x，∴FA＝2，BD＝(0＜x＜2)，∴S▱ABCD＝CD·BD＝x，∴V(x)＝S▱ABCD·FA＝x(0＜x＜2)．(2)V(x)＝x＝＝.∵0＜x＜2，∴0＜x2＜4，∴当x2＝2，即x＝时，V(x)取得最大值，且V(x)max＝.12．如图7220，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＞1，小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到点C1，所爬的最短路程为2.图7220(1)求AB的长度；(2)求该长方体外接球的表面积．【解】 (1)设AB＝x，点A到点C1可能有两种途径，如图甲的最短路程为|AC1|＝.7\n甲如图乙的最短路程为|AC1|＝＝，乙因为x＞1，所以x2＋2x＋2＞x2＋2＋2＝x2＋4，故从点A沿长方体的表面爬到点C1的最短距离为.由题意得＝2，解得x＝2.即AB的长度为2.(2)设长方体外接球的半径为R，则(2R)2＝12＋12＋22＝6，所以R2＝，所以S表＝4πR2＝6π.即该长方体外接球的表面积为6π.7
