课时作业45 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7B．6C．5D．3解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.答案：A2．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于( )A.B.C.D.解析：设球的半径为R，其内接正方体的棱长为a，则易知R2＝a2，即a＝R，则＝＝.答案：D3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A．38＋πB．38＋2π9\nC．40＋πD．40＋2π解析：由三视图可知，该组合体下方是一个长方体，上方是一个半圆柱，所以表面积为2(4×2＋4×2＋2×2)－2＋×2π×1＋π＝38＋2π.答案：B4．(2014·陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.B．4πC．2πD.解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径R，则2R＝＝2，解得R＝1，所以V＝R3＝.答案：D5．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高之比为( )A．12B．12πC．21D．1π解析：设底面周长为xcm，则2πr＝x，即r＝，高为6－x，故V＝π·2(6－x)＝(6x2－x3)，则V′＝(12x－3x2)，由V′＝0得x＝4.易知当x＝4时，圆柱的体积最大，此时圆柱的底面周长是4cm，圆柱的高为2cm，从而底面周长与高之比为42＝21.答案：C6．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如右图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )9\nA.B.C.D.解析：由三视图可知切削得到的零件是由两个圆柱组成的一个组合体，一个是底面半径为2，高为4的圆柱，一个是底面半径为3，高为2的圆柱，于是零件的体积V1＝πrh1＋πrh2＝π×22×4＋π×32×2＝34π，而原来毛坯的体积V＝πr2h＝π×32×6＝54π，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值之比＝＝＝，故选C.答案：C二、填空题7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则∴∴h＝.∴V圆锥＝π×12×＝π.答案：π8．(2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r1、h1，r2、h2；由题意知2πr1h1＝2πr2h2，＝，又＝＝，所以＝，从而＝＝·＝·＝＝.答案：9．已知三棱锥O—ABC中，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝AC＝，BC＝，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．解析：易知以O点为顶点的三条棱两两垂直，则球S即为以O为顶点，以OA，OB，OC为棱的长方体的外接球，所以2R＝＝×＝(R为球S的半径)，所以R＝，表面积S＝4πR2＝.答案：三、解答题9\n10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为.所以V＝1×1×＝.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.9\n11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E—BCD的体积．解：(1)证明：如图，取BC的中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝BB1.由题意知，AA1綊BB1.而D是AA1的中点，所以EG綊AD.所以四边形EGAD是平行四边形．所以ED∥AG.又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE.所以VE—BCD＝VD—BCE＝VA—BCE＝VE—ABC.由(1)知，DE∥平面ABC，9\n所以VE—BCD＝VE—ABC＝VD—ABC＝AD·BC·AG＝×3×6×4＝12.1．(2014·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如下图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A1B1C1—ABC，且AB＝8，BC＝6，BB1＝12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r＝＝2.故选B.答案：B2．(2014·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈9\nL2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.B.C.D.解析：借助圆锥的体积公式，底面圆的面积、周长公式求解．设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面圆周长L＝2πr，所以圆锥底面圆的半径r＝，则圆锥的体积为V＝Sh＝πr2h＝π·h＝L2h.又V≈L2h，所以L2h≈L2h，解得π≈.答案：B3．如图，在三棱锥D—ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D—ABC的体积的最大值是________． 解析：由题意知，线段AB＋BD与线段AC＋CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直．设d为AD到BC的距离．则VD—ABC＝AD·BC×d××＝2d，当d最大时，VD—ABC体积最大，∵AB＋BD＝AC＋CD＝10，∴当AB＝BD＝AC＝CD＝5时，d有最大值＝.此时V＝2.答案：29\n4．如图所示，从三棱锥P—ABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.(1)在三棱锥P—ABC中，求证：PA⊥BC.(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P—ABC的体积．解：(1)证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，且P2P1＝P2P3.从而PB＝PC，AB＝AC，取BC的中点D，连AD，PD，则AD⊥BC，PD⊥BC，AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD.∵PA⊂平面PAD，故PA⊥BC.(2)由题设有AB＝AC＝P1P2＝13，PA＝P1A＝BC＝10，PB＝PC＝P1B＝13，∴AD＝PD＝＝12，在等腰三角形DPA中，底边PA上的高h＝＝，∴S△DPA＝PA·h＝5.又BC⊥平面PAD，∴VP—ABC＝VB—PDA＋VC—PDA9\n＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA＝BC·S△PDA＝×10×5＝.9
