课时提升练(二十九) 数列求和一、选择题1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )A．1＋2n B．2＋2nC．n＋2n－1D．n＋2＋2n【解析】 设前n项和Sn，则Sn＝1＋20＋1＋2＋1＋22＋…＋1＋2n－1＝n＋＝n＋2n－1.【答案】 C2．(2022·福建高考)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于( )A．1006 B．2012C．503 D．0【解析】 a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….∴数列{an}的所有奇数项为0，前2012项的所有偶数项(共1006项)依次为－2,4，－6,8，…故S2012＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2010＋2012)＝1006.【答案】 A3．数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于( )A．76B．78C．80D．82【解析】 由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1得，an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，∴an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)．取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果相加可得S12＝a1＋a2＋…＋a11＋a12＝78.【答案】 B4．已知函数f(x)＝xa的图像过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2014＝( )A.－1B.－1C.－1D.＋1【解析】 由f(4)＝2得4a＝2.∴a＝，则f(x)＝x，∴an＝＝5\n＝－，S2014＝a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.【答案】 C5．(2022·南宁模拟)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于( )A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)【解析】 ∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1，故数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a＋a＋…＋a＝＝(9n－1)．【答案】 B6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝( )A．6n－n2B．n2－6n＋18C.D.【解析】 ∵Sn＝n2－6n，∴{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2，∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3时，an＜0，n＞3时，an＞0，∴Tn＝【答案】 C二、填空题7．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.【解析】 由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.【答案】 1008．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.【解析】 ∵S99＝30，∴a1(299－1)＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝＝＝×30＝.5\n【答案】 9．若＝110(x∈N*)，则x＝________.【解析】 原式分子为1＋3＋5＋…＋(2x－1)＝＝x2，原式分母为＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝，故原式＝＝x2＋x＝110，x＝10.【答案】 10三、解答题10．(2022·大纲全国卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】 (1)由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－≤d≤－.因此d＝－3.数列{an}的通项公式为an＝13－3n.(2)bn＝＝.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋－＝＝.11．(2022·江西高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.【解】 (1)当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，5\n故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，所以an＝－n.(2)因为bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2－an(n∈N*)．(1)求证：数列是等比数列；(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn，An＝＋＋＋…＋，试比较An与的大小．【解】 (1)证明：由a1＝S1＝2－3a1得a1＝，当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1得＝×，所以是首项和公比均为的等比数列．(2)由(1)得＝，于是2n·an＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝.所以＝2，于是An＝2＝，而＝，所以问题转化为比较与的大小．设f(n)＝，g(n)＝，当n≥4时，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)＜1，所以f(n)＞g(n)．5\n经验证当n＝1,2,3时，仍有f(n)＞g(n)．因此对任意的正整数n，都有f(n)＞g(n)，即An＜.5
