课时提升练(八) 指数与指数函数一、选择题1．(2022·临沂模拟)已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝( )A．5B．7C．9D．11【解析】 由f(a)＝3，得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，∴22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.【答案】 B2．(2022·宁波十校联考)函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )A．y＝B．y＝|x－2|C．y＝2x－1D．y＝log22x【解析】 由题意A(1,1)，经验证得函数y＝的图象不经过A点．【答案】 A3．设a＝22.5，b＝2.50，c＝2.5，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c【解析】 b＝2.50＝1，c＝2.5＝2－2.5，则2－2.5＜1＜22.5，即c＜b＜a.【答案】 C4．(2022·山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝( )A．[0,2]B．(1,3)C．[1,3)D．(1,4)【解析】 由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．【答案】 C5．(2022·江西高考)已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f[g(1)]＝1，则a＝( )A．1B．2C．3D．－1【解析】 ∵g(x)＝ax2－x，∴g(1)＝a－1.∵f(x)＝5|x|，5\n∴f[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，∴a＝1.【答案】 A6．(2022·陕西高考)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A．f(x)＝x3B．f(x)＝3xC．f(x)＝xD．f(x)＝x【解析】 f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，A错误．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(x)＝3x是增函数，B正确．f(x)＝x，f(x＋y)＝(x＋y)≠x·y，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，C错误．f(x)＝x，f(x＋y)＝x＋y＝x·x，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝x不是增函数，D错误．【答案】 B7．(2022·四川高考)已知b＞0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )A．d＝acB．a＝cdC．c＝adD．d＝a＋c【解析】 因为log5b＝a，lgb＝c，所以5a＝b，b＝10c.又5d＝10，所以5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，所以a＝cd.【答案】 B8．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( )A．－3B．－1C．1D．3【解析】 由已知，得f(1)＝2.又当x>0时，f(x)＝2x>1，而f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－2，∴a<0，∴a＋1＝－2，解得a＝－3，故选A.【答案】 A9．若函数y＝ax＋b的图象如图253所示，则函数y＝＋b＋1的图象为( )5\n图253【解析】 由图可知0＜a＜1，－2＜b＜－1.又函数y＝＋b＋1的图象是由y＝向左平移a个单位，向下平移|b＋1|单位而得到的．结合四个选项可知C正确．【答案】 C10．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1在(0，＋∞)上的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是( )A．2－2<m<2＋2B．m<2C．m<2＋2D．m≥2＋2【解析】 设t＝3x，又x∈(0，＋∞)，∴t>1，原函数可化为y＝t2－mt＋m＋1，由题意，当t>1时，y＝t2－mt＋m＋1>0恒成立，故m<.又＝＝(t－1)＋＋2≥2＋2，∴m<2＋2.【答案】 C11．(2022·课标全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是( )A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)【解析】 ∵2x(x－a)＜1，∴a＞x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.【答案】 D12．若函数f(x)＝a2x－4，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，且f(2)·g(－2)<0，则函数5\nf(x)、g(x)在同一坐标系内的大致图象是( )【解析】 f(2)·g(－2)＝a0loga2<0，得0<a<1，所以f(x)＝a2x－4在R上为减函数，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．【答案】 B二、填空题13．(2022·陕西高考)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.【解析】 4a＝2，a＝，lgx＝a，x＝10a＝.【答案】 14．函数y＝x2－2x＋2的递增区间是________．【解析】 ∵y＝x在R上是减函数，而y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其递减区间为(－∞，1]，∴原函数的递增区间是(－∞，1]．【答案】 (－∞，1]15．(2022·课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．【解析】 当x<1时，x－1<0，ex－1<e0＝1≤2，∴当x<1时满足f(x)≤2.当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.综上可知x∈(－∞，8]．【答案】 (－∞，8]16．已知0≤x≤2，则y＝4－3·2x＋5的最大值为________．【解析】 令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，又y＝22x－1－3·2x＋5，∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，∵1≤t≤4，5\n∴t＝1时，ymax＝.【答案】 5
