课时提升练(六十二) 绝对值不等式一、选择题1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为( )A．2 B. C．4 D．6【解析】 由绝对值三角形不等式得y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.【答案】 A2．若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为∅，则a的取值范围为( )A．a＞5B．a≥5C．a＜5D．a≤5【解析】 ∵|x－2|＋|x＋3|≥|－x＋2＋x＋3|＝5.∴当a＜5时不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为∅.【答案】 D3．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 |x－1|＜2⇔－1＜x＜3，x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0,3)(－1,3)．【答案】 B4．(2022·大纲全国卷)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－2,0)∪(0,2)【解析】 由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D5．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝( )A．0B．－1C．－2D．－3【解析】 ∵|2x－t|<1－t，4\n∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，t－<x<，∴t＝0.【答案】 A6．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是( )A．0B．1C．－1D．2【解析】 由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，解之得a≤1.故实数a的最大值为1.【答案】 B二、填空题7．(2022·陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【解析】 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.【答案】 [－2,4]8．(2022·陕西渭南模拟)若不存在实数x使|x－3|＋|x－1|≤a成立，则实数a的取值集合是________．【解析】 |x－3|＋|x－1|的几何意义为数轴上的点到3和1的距离之和，所以函数y＝|x－3|＋|x－1|的最小值为2，实数a的取值集合是{a|a＜2}．【答案】 {a|a＜2}9．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．【解】 法一：|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5.法二：∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5.【答案】 5三、解答题4\n10．(2022·本溪模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|.(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥|x＋1|＋1的解集；(2)若不等式f(x)＋f(－x)＜2存在实数解，求实数a的取值范围．【解】 (1)当a＝－1时，f(x)≥|x＋1|＋1可化为|x－1|－|x＋1|≥1，化简得或或解得x≤－1或－1＜x≤－，即所求解集为.(2)令g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(x)＝|x＋a|＋|－x＋a|＝|x＋a|＋|x－a|≥2|a|，所以2＞2|a|，即－1＜a＜1.所以实数a的取值范围是(－1,1)．11．(2022·洛阳模拟)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)＞2的解集；(2)∀x∈R，使f(x)≥t2－t，求实数t的取值范围．【解】 (1)f(x)＝当x＜－时，－x－3＞2⇒x＜－5，∴x＜－5.当－≤x＜2时，3x－1＞2⇒x＞1，∴1＜x＜2.当x≥2时，x＋3＞2⇒x＞－1，∴x≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x＞1或x＜－5}．(2)易得f(x)min＝－，若∀x∈R都有f(x)≥t2－t恒成立，则只需f(x)min＝－≥t2－，解得≤t≤5.12．(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝log2(|2x－1|＋|x＋2|－a)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的定义域；(2)若对任意的x∈R，都有f(x)≥2成立，求实数a的取值范围．【解】 (1)由题意得f(x)＝log2(|2x－1|＋|x＋2|－4)，|2x－1|＋|x＋2|－4＞0，当x＜－2时，－(2x－1)－(x＋2)－4＞0，∴x＜－，4\n即x＜－2.当－2≤x≤时，－(2x－1)＋(x＋2)－4＞0，∴x＜－1，即－2≤x＜－1.当x＞时，(2x－1)＋(x＋2)－4＞0，∴x＞1，即x＞1.综上所述，函数f(x)的定义域为{x|x＜－1或x＞1}．(2)由题意得log2(|2x－1|＋|x＋2|－a)≥2＝log24恒成立，即|2x－1|＋|x＋2|－a≥4，∴|2x－1|＋|x＋2|－4≥a恒成立，令g(x)＝|2x－1|＋|x＋2|－4＝显然x＝时，g(x)取得最小值－，∴a≤－.4
