课时提升练(六十) 坐标系一、选择题1．在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρcosθ－2＝0，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是( )A．ρ＝2cosθB．ρ＝2sinθC．2ρ＝cosθD．ρ＝2＋cosθ【解析】 直线l：ρcosθ－2＝0的直角坐标方程是x＝2，直线l与x轴相交于点M(2,0)，以OM为直径的圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，化为极坐标方程是ρ2－2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ.【答案】 A2．在极坐标系中，曲线ρcosθ＋ρsinθ＝2(0≤θ＜2π)与θ＝的交点的极坐标为( )A．(1,1)B.C.D.【解析】 将θ＝代入到ρcosθ＋ρsinθ＝2，得ρ＝，∴交点的极坐标为.【答案】 C3．将曲线y＝2sin按照φ：变换后的曲线的最小正周期与最大值分别为( )A．π，B．4π，C．2π，3D．4π，6【解析】 ∵φ：∴∴＝2sin，即y′＝6sin，5\n∴T＝＝4π，最大值为6.【答案】 D4．(2022·北京通州模拟)下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cosθ相切的是( )A．ρcosθ＝1B．ρsinθ＝1C．ρcosθ＝2D．ρsinθ＝2【解析】 由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1，与x轴平行且与圆相切的直线方程为y＝1或y＝－1，则极坐标方程为ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以选B.【答案】 B5．(2022·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1【解析】 由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2.【答案】 B6．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )A．2 B．2C．4 D．4【解析】 直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，圆心到直线的距离d＝＝2∴截得的弦长为2＝2＝4.【答案】 D5\n二、填空题7．(2022·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.【解析】 由ρ＝4cosθ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|＝2.【答案】 28．(2022·陕西高考)在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．【解析】 点化为直角坐标为(，1)，直线ρsin＝1化为ρ＝1，y－x＝1即x－y＋1＝0，点(，1)到直线x－y＋1＝0的距离为＝1.【答案】 19．在极坐标系中，直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲线C：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．【解析】 直线ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0化为直角坐标方程为x－y＋2＝0，曲线C：ρ＝2化为直角坐标方程为x2＋y2＝4.如图，直线被圆截得弦AB，AB中点为M，则|OA|＝2，|OB|＝2，从而|OM|＝，∠MOx＝.∴点M的极坐标为.【答案】 三、解答题10．在极坐标系中，已知三点M、N(2,0)、P.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．【解】 (1)由公式得M的直角坐标为(1，－)；N的直角坐标为(2,0)；5\nP的直角坐标为(3，)．(2)∵kMN＝＝，kNP＝＝.∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．11．已知圆C的极坐标方程ρ＝2asinθ，求：(1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程．(2)圆C关于直线θ＝对称的圆的极坐标方程．【解】 法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)．(1)点M(ρ，θ)关于极轴对称的点为M(ρ，－θ)，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin(－θ)，即ρ＝－2asinθ为所求．(2)点M(ρ，θ)关于直线θ＝对称的点为，代入圆C的方程ρ＝2asinθ，得ρ＝2asin，即ρ＝－2acosθ为所求．法二：由圆的极坐标方程ρ＝2asinθ.得ρ2＝2ρasinθ，利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝.化为直角坐标方程为x2＋y2＝2ay.即x2＋(y－a)2＝a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a)，圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，即x2＋y2＝－2ay.∴ρ2＝－2ρasinθ，故ρ＝－2asinθ为所求．(2)由θ＝得tanθ＝－1，故直线θ＝的直角坐标方程为y＝－x，即x2＋(y－a)2＝a2关于直线y＝－x对称的圆的方程为(－y)2＋(－x－a)2＝a2，即(x＋a)2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax.∴ρ2＝－2ρacosθ.此圆的极坐标方程为ρ＝－2acosθ.12．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径．5\n(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)试判定直线l和圆C的位置关系．【解】 (1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)·tan，此方程可化为＝，令＝＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为(a为参数)．如图所示，设圆上任意一点为Q(ρ，θ)，则在△QOM中，由余弦定理，得QM2＝QO2＋OM2－2·QO·OMcos∠QOM，∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos.化简得ρ＝8sinθ，即为圆C的极坐标方程．(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)．直线l的普通方程是x－y－5－＝0，圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，所以直线l和圆C相离．5
