课时提升练(六十一) 参数方程一、选择题1．当参数θ变化时，动点P(2cosθ，3sinθ)的轨迹必过点( )A．(2,0) B．(2,3)C．(1,3)D.【解析】 由题意可知，动点P的轨迹方程为＋＝1，结合四个选项可知A正确．【答案】 A2．直线l：(t为参数)的倾斜角为( )A．20° B．70°C．160° D．120°【解析】 法一：将直线l：(t为参数)化为参数方程的标准形式为(t为参数)，故直线的倾斜角为70°.法二：将直线l：(t为参数)化为直角坐标方程为y－5＝(x＋2)，即y－5＝(x＋2)，∴y－5＝tan70°(x＋2)，∴直线的倾斜角为70°.【答案】 B3．(2022·北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心( )A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上【解析】 消去参数θ，将参数方程化为普通方程．曲线可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y＝－2x上，故选B.【答案】 B4．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为( )A．[，5]B．[－，5]C．[－5，－]D．[－，]【解析】 因椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P4\n的坐标为(cosφ，sinφ)，其中0≤φ＜2π，因此S＝x＋y＝cosφ＋sinφ＝＝sin(φ＋γ)，其中tanγ＝，所以S的取值范围是[－，]，故选D.【答案】 D5．(2022·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为( )A.B．2C.D．2【解析】 将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解．直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0.圆C的圆心(2,0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝.又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为2＝2.故选D.【答案】 D6．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为( )A. B.C．－ D．－【解析】 圆C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝，∴k＝－.【答案】 D二、填空题7．(2022·咸阳模拟)已知直线l1：(t为参数)与圆C2：(θ为参数)的位置关系不可能是________．【解析】 把直线l1的方程：(t为参数)化为直角坐标方程为xtanα－y－tanα＝0，把圆C2的方程：(θ为参数)化为直角坐标方程为x2＋y24\n＝1，圆心到直线的距离d＝＝≤1＝r，所以直线与圆相交或相切，故填相离．【答案】 相离8．(2022·陕西高考)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4⇒p＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)9．(2022·湖南高考)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．【解析】 曲线(α为参数)，消去参数得(x－2)2＋(y－1)2＝1.由于|AB|＝2，因此|AB|为圆的直径，故直线过圆的圆心(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0，化为极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，即ρ(cosθ－sinθ)＝1.【答案】 ρ(cosθ－sinθ)＝1三、解答题10．(2022·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．【解】 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，得2＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.11．(2022·长春模拟)长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，＝3，点P的轨迹为曲线C.(1)以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；(2)求点P到点D(0，－2)距离的最大值．【解】 (1)设P(x，y)，由题设可知，则x＝|AB|cos(π－α)＝－2cosα，y＝|AB|sin(π－α)＝sinα，4\n所以曲线C的参数方程为(α为参数，＜α＜π)．(2)由(1)得|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4＝－3sin2α＋4sinα＋8＝－32＋.当sinα＝时，|PD|取得最大值.12．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．【解】 (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝，t＝.故D的直角坐标为，即.4
