课时提升练(五十六) 直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数【解析】 “自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是( )A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定【解析】 ∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，∴P2＜Q2，∴P＜Q.【答案】 C3．(2022·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是( )A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0【解析】 由＜a⇐b2－ac＜3a2⇐b2＋a(a＋b)＜3a2⇐b2＋a2＋ab＜3a2⇐b2＋ab＜2a2⇐b2＋ab－2a2＜0⇐(a－b)(a－c)＞0.【答案】 C4．(2022·上海模拟)“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件5\nC．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 当a＝时，x＋＝x＋≥2＝2×＝1，当且仅当x＝时等号成立．反之，不成立．【答案】 A5．(2022·成都模拟)已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A【解析】 ∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数，∴f≤f()≤f，即A≤B≤C.【答案】 A6．(2022·北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A．2人B．3人C．4人D．5人【解析】 利用反证法解决实际问题．假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人．当有3位学生时，用A，B，C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．【答案】 B二、填空题7．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋≥________.【解析】 ∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋5\n≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9.等号成立的条件是a＝b＝c＝.【答案】 98．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．【解析】 ∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，∴≤f＝f，即sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为.【答案】 9．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填写所有正确条件的代号)．①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．【解析】 ①中x为直线，y，z为平面，则x⊥z，y⊥z，而x⊄y，∴必有x∥y成立，故①正确．②中若x，y，z均为平面，由墙角三面互相垂直可知x∥y是错的．③x、y为直线，z为平面，则x⊥z，y⊥z可知x∥y正确．④x、y为平面，z为直线，z⊥x，z⊥y，则x∥y成立．⑤x、y、z均为直线，x⊥z且y⊥z，则x与y还可能异面、垂直，故不成立．【答案】 ①③④三、解答题10．若a，b，c是不全相等的正数，求证：5\nlg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.【证明】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)∴≥＞0，≥＞0，≥＞0又a，b，c是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立．∴lg＋lg＋lg＝lg＞lg(··)＝lg(abc)＝lga＋lgb＋lgc.11．(2022·临沂模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.(1)证明：是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明＞c.【解】 (1)证明：∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝，∴x2＝，∴是f(x)＝0的一个根．即是函数f(x)的一个零点．(2)假设<c，又>0，由0<x<c时，f(x)>0，知f>0与f＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴>c.12．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；5\n②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是否是理想函数．【解】 (1)证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，∴f(0)≥0.于是f(0)＝0.(2)对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②，∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数．对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1.任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．对于f(x)＝，x∈[0,1]，显然满足条件①②.对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2＋x2)＝－2≤0，即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2.∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.∴f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．综上，f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数，f(x)＝2x(x∈[0,1])与f(x)＝(x∈[0,1])不是理想函数．5
