课时提升练(五十五) 合情推理与演绎推理一、选择题1．如图1125是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )图1125【解析】 该五角星对角上的两盏花灯依次按顺时针方向亮两盏，故下一个呈现出来的图形是A.【答案】 A2．数列2,5,11,20,32，x，…中的x等于( )A．28 B．32 C．33 D．47【解析】 由数与数间的关系，我们发现相邻两数间依次相差“3,6,9,12,15，…”．故x＝32＋15＝47.【答案】 D3．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n26\nD．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2【解析】 由前四个等式我们发现第n个等式左边共有2n－1项，故为n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.【答案】 B4．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(1)1]( )A．nB．n＋1C．n－1D．n2【解析】 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]【答案】 A5．(2022·银川模拟)当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于( )A．nnB．n2C．nD．n＋1【解析】 ∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母xn的指数n的指数次方，即p＝nn.【答案】 A6．(2022·长春模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③【解析】 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.【答案】 B二、填空题7．(2022·陕西高考)观察分析下表中的数据：6\n多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．【解析】 观察分析、归纳推理．观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.【答案】 F＋V－E＝28．(2022·安徽高考)如图1126，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.图1126【解析】 根据题意易得a1＝2，a2＝，a3＝1，∴{an}构成以a1＝2，q＝的等比数列，∴a7＝a1q6＝2×6＝.【答案】 9．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的四维测度W＝2πr4，猜想其三维测度V＝________.【解析】 由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3.【答案】 8πr3三、解答题10．(2022·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：6\n①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【解】 (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°＝.(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)＝1－cos2α－＋cos2α＝.11．(2022·阜阳模拟)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．【证明】 如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.6\n猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.∵AB⊥CD，AE⊥CD，∴CD⊥平面ABF.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.∴＝＋＋，故猜想正确．12．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现．(1)求函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f【解】 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.f＝×3－×2＋3×－＝1.由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，所以f＋f＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.6\n故f＋f＝2，f＋f＝2，f＋f＝2，…f＋f＝2.所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2014＝2014.6
