课时提升作业(三十六)合情推理与演绎推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180°B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人数均超过50人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式【解析】选A.A项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D是归纳推理,C是类比推理.2.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=( )A.28 B.76 C.123 D.199【解析】选C.观察,可得各式的值构成数列1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每一项等于其前相邻两项的和,所求的值为数列中的第十项,继续写出此数列为:1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为123,即a10+b10=123.3.(2022·滁州模拟)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2>0,那么这个演绎推理出错在( )A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错【解析】选A.要分析一个演绎推理是否正确,主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确,只有这几个方面都正确,才能得到这个演绎推理正确.本题中大前提:任何实数的平方都大于0,是不正确的.【加固训练】正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推理( )A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确【解析】选C.由三段论可知小前提错.因为大前提:正弦函数是奇函数,-6-\n小前提:f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,结论:f(x)=sin(x2+1)是奇函数.所以小前提错.4.(2022·佛山模拟)对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2022次操作后得到的数是( )A.25B.250C.55D.133【解析】选D.由题意知,第3次操作为53+53=250,第4次操作为23+53+03=133,第5次操作为13+33+33=55,….因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为3,又2022=671×3+1,故第2022次操作后得到的数是133,故选D.5.(2022·揭阳模拟)对于正实数a,Ma为满足下述条件的函数f(x)构成的集合:∀x1,x2∈R且x2>x1,有-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),下列结论中正确的是( )A.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)·g(x)∈B.若f(x)∈,g(x)∈,且g(x)≠0,则∈C.若f(x)∈,g(x)∈,则f(x)+g(x)∈D.若f(x)∈,g(x)∈,且a1>a2,则f(x)-g(x)∈【解题提示】对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1).变形有-a<<a,令k=,又f(x)∈,g(x)∈,利用不等式的性质可得f(x)+g(x)∈.从而得出正确答案.【解析】选C.对于-a(x2-x1)<f(x2)-f(x1)<a(x2-x1),即有-a<<a,令k=,有-a<k<a,又f(x)∈,g(x)∈,即有-a1<kf<a1,-a2<kg<a2,因此有-a1-a2<kf+kg<a1+a2,因此有f(x)+g(x)∈.故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·湛江模拟)图(1)所示的图形有面积关系:=-6-\n,则图(2)所示的图形有体积关系:= .【解析】由三棱锥的体积公式V=Sh及相似比可知,=答案:7.(2022·重庆模拟)在等差数列{an}中,若公差为d,且a1=d,那么有am+an=am+n,类比上述性质,写出在等比数列{an}中类似的性质: .【解析】等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积,故在等比数列中,类似的性质是“在等比数列{an}中,若公比为q,且a1=q,则am·an=am+n.”答案:在等比数列{an}中,若公比为q,且a1=q,则am·an=am+n8.运用三段论推理:复数不可以比较大小,(大前提)2022和2022都是复数,(小前提)2022和2022不可以比较大小.(结论)该推理是错误的,产生错误的原因是 错误.(填“大前提”或“小前提”)【解析】根据三段论推理,是由两个前提和一个结论组成,大前提:复数不可以比较大小,是错误的,故答案为:大前提答案:大前提三、解答题(每小题10分,共20分)9.半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若r看作是(0,+∞)上的变量,则(πr2)′=2πr,该结论可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.那么对于半径为R的球,若R看作是(0,+∞)上的变量,请写出类似于上面且正确的结论的式子,并用语言叙述.【解析】圆的面积可类比球的体积,圆的周长可类比球的表面积,故（πR3）′=4πR2,-6-\n因而球的体积函数的导数等于球的表面积函数.10.已知sin230°+sin290°+sin2150°=,sin25°+sin265°+sin2125°=,通过观察上述两个等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出证明.【解析】一般形式:sin2α+sin2(α+60°)+sin2(α+120°)=.证明如下:左边=++=-[cos2α+cos(2α+120°)+cos(2α+240°)]=-(cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2αcos240°-sin2αsin240°)=-[cos2α-cos2α-sin2α-cos2α+sin2α]==右边.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·上海模拟)一个机器人每一秒钟前进或后退一步,程序设计师让机器人以前进3步,然后再后退2步的规律移动,如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向,以1步的距离为1个单位长度,令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标,且记P(0)=0,则下列结论中错误的是( )A.P(3)=3B.P(5)=1C.P(2022)>P(2022)D.P(2022)<P(2022)【解题提示】按“前进3步后退2步”的步骤去算,发现机器人每5秒完成一个循环,解出对应的数值,再根据规律推导,就可得出正确选项.【解析】选D.根据题中的规律可得:P(0)=0,P(1)=1,P(2)=2,P(3)=3,P(4)=2,P(5)=1,…以此类推得:P(5k)=k(k为正整数),因此P(2022)=403,且P(2022)=401,所以P(2022)>P(2022),故选D.2.(5分)(2022·泉州模拟)若函数y=f(x)满足:集合A={f(n)|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列,则称函数f(x)是“等差源函数”,则下列四个函数中,“等差源函数”的个数是( )-6-\n①y=2x+1; ②y=log2x;③y=2x+1; ④y=sinA.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.①y=2x+1,n∈N*,是等差源函数;②因为log21,log22,log24构成等差数列,所以y=log2x是等差源函数;③y=2x+1不是等差源函数,因为若是,则2(2p+1)=(2m+1)+(2n+1),则2p+1=2m+2n,所以2p+1-n=2m-n+1,左边是偶数,右边是奇数,故y=2x+1不是等差源函数;④y=sin是周期函数,显然是等差源函数.3.(5分)(2022·咸阳模拟)运用合情推理知识可以得到:当n≥2时…= .【解析】n=2时,1-==,n=3时,=×==,…从而可得当n≥2时,…=.答案:4.(12分)已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,在P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:在y2=2px两边同时求导,得:2yy′=2p,则y′=,所以在点P处的切线的斜率:k=.试用上述方法求出双曲线x2-=1在P(,)处的切线方程.【解析】用类比的方法对=x2-1两边同时求导得,yy′=2x,所以y′=,所以在点P处的切线斜率k===2,所以切线方程为y-=2(x-),所以2x-y-=0.5.(13分)(能力挑战题)设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:-6-\n(1)a>0且-2<<-1.(2)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.【证明】(1)因为f(0)>0,f(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.因为a+b+c=0,消去b得a>c>0;再由条件a+b+c=0,消去c得a+b<0且2a+b>0,所以-2<<-1.(2)因为抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为,又因为-2<<-1,所以<-<,因为f(0)>0,f(1)>0,而f=-<0,所以方程f(x)=0在区间与内分别有一实根,故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.-6-
