第五章平面向量一平面向量的概念及根本运算【考点阐述】向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．【考试要求】（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．（2）掌握向量的加法和减法．（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．（4）了解平面向量的根本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．【2022年湖北卷理5文8】．已知△ABC和点M满足++=0．假设存在实数m使得+=m成立，那么m=BA．2B．3C．4D．5【解析】由++=0知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，那么==·（+）=（+），所以有+=m，故m=3，选B．【2022年全国Ⅱ卷理8文10】．△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB．假设=a，=b，|a|=1，|b|=1，那么=BA．a+bB．a+bC．a+bD．a+b【命题意图】本试题主要考察向量的根本运算，考察角平分线定理.【解析】因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得=2，所以D为AB的三等分点，且==（―），所以=+=+=a+b．【2022年陕西卷理11文12】．已知向量a=（2，―1），b=（―1，m），c=（―1，2），假设（a+b）∥c，那么m=．【答案】―1【解析】∵a+b=（1，m―1），c=（―1，2），∴由（a+b）∥c得1×2―（―1）×（m―1）=0，所以m=―1．【2022年高考上海市理科13】．如以下图，直线x=2与双曲线Г：―y2=1的渐近线交于E1，E2两点，记=e1，=e2，任取双曲线上的点P，假设=ae1+be2（a，b∈R），那么a、b满足的一个等式是．4ab=1【答案】4ab=1【2022年高考上海卷文科13】．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为（，0），e1=（2，1），e2=（2，―1）88/8分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，假设=ae1+be2（a，b∈R），那么a、b满足的一个等式是4ab=1．解析：因为e1=（2，1），e2=（2，―1）是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又c=，所以a=2，b=1，双曲线方程为，=ae1+be2=（2a+2b，a―b），，化简得4ab=1．二平面向量的数量积【考试要求】掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．【2022年江西卷文13】．已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，那么b在a上的投影是．【答案】1【解析】考察向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值【湖南卷理4】．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，那么·等于DA．―16B．―8C．8D．16解析一：因为∠C=90°，所以·=0，·=（+）·=2+·=16．解析二：在上的投影为||，所以·=||2=16．【2022年北京卷理6】．a、b为非零向量。“a⊥b”是“函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）为一次函数”的BA．充分而不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x―a·b，如a⊥b，那么有a·b=0，如果同时有|a|=|b|，那么函数恒为0，不是一次函数，因此不充分，而如果f（x）为一次函数，那么a·b=0，因此可得a⊥b，故该条件必要。88/8【2022年北京卷文4】．假设a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，那么函数f（x）=（xa+b）·（xb―a）是AA．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数解析：f（x）=（xa+b）·（xb―a）=（a·b）x2+（|b|2―|a|2）x―a·b，由a⊥b，那么a·b=0，f（x）=（|b|2―|a|2）x，故f（x）是一次函数且是奇函数．OABC【2022年江西卷理13】．已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，那么|a―b|=．【解析】考察向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法那么、余弦定理等知识，如图a=，b=，a―b=―=，由余弦定理得：|a―b|=．【2022年重庆卷理2】．已知向量a，b满足a·b=0，|a|=1，|b|=2，那么|2a―b|=BA．0B．C．4D．8解析：|2a―b|=.【2022年浙江卷文13】．已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a⊥（a―2b），那么|2a+b|的值是．解析：，由题意可知a·（a―2b）=0，结合|a|=1，|b|=2，解得a·b=，所以|2a+b|2=4a2+4a·b+b2=8+2=10，开方可知答案为，【命题意图】此题主要考察了平面向量的四那么运算及其几何意义，属中档题。【2022年浙江卷理16】．已知两平面向量a，b均为非零向量，且a≠b，|b|=1，a与b―a的夹角为120°，那么|a|的取值范围是_______．（0，]【命题意图】此题主要考察了平面向量的四那么运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题．88/8BCA60°ф120°ab―ab【解析】如以下图，在△ABC中，∠ABC=60°，AC=1，设∠ACB=θ，由正弦定理得：，|a|=|AB|=sinφ≤，故|a|∈（0，]．【2022年湖南卷文6】．假设非零向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，那么a与b的夹角为CA．30°B．60°C．120°D．150°【解析】（2a+b）·b=2a·b+b·b=0，所以a·b=―|b|2，cos﹤a，b﹥=―，﹤a，b﹥=120°．【2022年辽宁卷理8文8】．平面上O，A，B三点不共线，设=a，=b，那么△OAB的面积等于CA．B．C．D．解析：【2022年四川卷理5文6】．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2=16，|+|=|―|，那么||=CA．8B．4C．2D．1解析：由2＝16，得|BC|＝4，|+|=|―|=||＝4，而|+|=2||，故||=2．DABC【2022年天津卷文9理（填空）15】．如图，在△ABC中，AD⊥AB，=，||=1，那么·=DA．B．C．D．【解析】·=||·||cos∠DAC=||cos∠DAC=||sin∠BAC=||sin∠B=||sin∠B=．【命题意图】此题主要考察平面向量、解三角形等根底知识,考察化归与转化的数学思想,有点难度.【2022年全国Ⅰ卷理11文11】．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为DA．B．C．D．88/8【命题意图】本小题主要考察向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考察最值的求法——判别式法,同时也考察了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.PABO【解析1】如以下图：设PA=PB=x，∠APO=α，那么∠APB=2α，PO=，，===，令，那么，即，由x2是实数，所以，，解得或.故.此时.【解析2】法一：设，法二：换元：，或建系：园的方程为，设，【2022年山东卷理12文12】．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=mq―np，下面说法错误的选项是BA．假设a与b共线，那么a⊙b=0B．a⊙b=b⊙aC．对任意的λ∈R，有（λa）⊙b=λ（a⊙b）D．（a⊙b）2+（a·b）2=|a|2·|b|2【解析】假设a与b共线，那么有a⊙b=mq―np，故A正确；因为b⊙a=pn―qm，而a⊙b=mq―np，所以有a⊙b≠b⊙a，应选项B错误，应选B。【命题意图】此题在平面向量的根底上，加以创新，属创新题型，考察平面向量的根底知识以及分析问题、解决问题的能力。【2022年重庆卷文3】．假设向量a=(3，m)，b=(2，―1)，a·b=0，那么实数m的值为DA．B．C．2D．6【解析】a·b=6―m=0，所以m=6．88/8【2022年安徽卷理3文3】．设向量a=（1，0），b=（，），那么以下结论中正确的选项是CA．|a|=|b|B．a·b=C．a―b与b垂直D．a∥b解析：a―b=（，―），（a―b）·b=0，所以a―b与b垂直．【2022年福建卷文8】．假设向量a=（x，3）（x∈R），那么“x=4”是“|a|=5”的AA．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由x=4得a=（4，3），所以|a|=5；反之，由|a|=5可得。【命题意图】此题考察平面向量、常用逻辑用语等根底知识。【2022年广东卷文5】．假设向量a=（1，1），b=（2，5），c=(3，x)满足条件(8a－b)·c=30，那么x=A．6B．5C．4D．3解析：8a－b=（6，3），(8a－b)·c=6×3+3x=30，故x=4．【2022年全国Ⅰ新课标卷文2】．a，b为平面向量，已知a=（4，3），2a+b=（3，18），那么a，b夹角的余弦值等于CA．B．C．D．解析：由已知得b=（2a+b）―2a=（―5，12），所以．【2022年高考福建卷理科7】．假设点O和点F（―2，0）分别是双曲线―y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，那么·的取值范围为BA．B．C．D．【解析】因为F（―2，0）是已知双曲线的左焦点，所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为―y2=1，设点P（x0，y0），那么有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，·取得最小值，故·的取值范围是，选B。88/8【命题意图】此题考察待定系数法求双曲线方程，考察平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考察了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2022年高考福建卷文科11】．假设点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，那么·的最大值为CA．2B．3C．6D．8【解析】由题意，F（-1，0），设点P（x0，y0），那么有,解得，因为，，所以·===，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当x0=2时，·取得最大值，选C。【命题意图】此题考察椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考察了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。【2022年江苏卷15】．在平面直角坐标系xOy中，点A(―1，―2)，B(2，3)，C(―2，―1)．（Ⅰ）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（Ⅱ）设实数t满足（―t）·=0，求t的值．[解析]本小题考察平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考察运算求解能力．（1）（方法一）由题设知，那么所以故所求的两条对角线的长分别为、。88/8（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，那么:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(－2,－1)，。由（―t）·=0，得：，从而所以。或者：，【2022年上海市春季高考22】．【2022年高考福建卷文科18】．设平顶向量＝（m,1）,=(2,n)，其中m，n{1,2,3,4}.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得（-）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率。【2022年高考湖北卷文科20】．已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。（Ⅰ）求曲线C的方程（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有＜0？假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由。88/8
