课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差一、基础巩固组1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )X-101P121316A.73B.4C.-1D.12.已知随机变量X+η=8,若X~B(10,0.6),则E(η),D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.63.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( )A.3·2-2B.2-4C.3·2-10D.2-84.已知随机变量ξ的分布列为ξ123P12xy若E(ξ)=158,则D(ξ)等于( )A.3364B.5564C.732D.932〚导学号21500785〛5.袋中有6个红球,4个白球,这些球除颜色外完全相同.从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为( )A.125B.2425C.85D.2656.将两封信随机投入A,B,C三个空邮箱中,则A邮箱的信件数ξ的均值为 . 7.袋中有4个红球,3个黑球,这些球除颜色外完全相同.今从袋中随机取出4个球,设取到1个红球记2分,取到1个黑球记1分,则得分ξ的均值为 . 8.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 . 9.某运动员的投篮命中率为p=0.6,则投篮一次命中次数ξ的均值为 ;若重复投篮5次,命中次数η的均值为 . 10.有甲、乙两个建材厂,都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.6\n二、综合提升组11.(2022北京东城模拟二,理17)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均朝上的概率为127.(1)求抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率;(2)抛掷这样的硬币三次后,抛掷一枚质地均匀的硬币一次,记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).〚导学号21500786〛12.(2022河北邯郸大名一中月考)《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目,是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目.某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关,对某校的100名大学生进行了问卷调查,得到如下列联表:喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》合 计男生15女生15合计已知在这100人中随机抽取1人,抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4.(1)请将上述列联表补充完整,判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关,并说明理由;(2)已知在被调查的大学生中有5名是大一学生,其中3名喜欢《最强大脑》,现从这5名大一学生中随机抽取2人,抽到喜欢《最强大脑》的人数为X,求X的分布列及数学期望.下面的临界值表仅供参考:P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d 6\n13.(2022河北衡水中学三调,理18)某同学在研究性学习中收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所示:月份x12345y/万盒44566(1)该同学为了求出y关于x的线性回归方程y^=b^x+a^,根据表中数据已经正确计算出b^=0.6,试求出a^的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数;(2)若某药店现有该制药厂今年2月份生产的甲胶囊4盒和3月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年2月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题.记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.〚导学号21500787〛三、创新应用组14.某次假期即将到来,喜爱旅游的小陈准备去厦门游玩,初步打算去鼓浪屿、南普陀寺、白城浴场三个景点,每个景点有可能去的概率都是13,且是否游览某个景点互不影响,设ξ表示小陈离开厦门时游览的景点数.(1)求ξ的分布列、数学期望及其方差;(2)记“函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[2,+∞)内单调递增”为事件A,求事件A的概率.〚导学号21500788〛6\n课时规范练62 离散型随机变量的均值与方差1.A E(X)=-12+16=-13,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.2.B 由已知随机变量X+η=8,所以有η=8-X.因此,求得E(η)=8-E(X)=8-10×0.6=2,D(η)=(-1)2D(X)=10×0.6×0.4=2.4.3.C ∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p=12,n=12,∴P(X=1)=C121·12·1211=3·2-10.4.B 由分布列的性质得x+y=12,又E(ξ)=158,所以12+2x+3y=158,解得x=18,y=38.故D(ξ)=1-1582×12+2-1582×18+3-1582×38=5564.5.B 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则X~B4,35,故D(X)=4×35×1-35=2425.6.23 ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=2×23×3=49,P(ξ=1)=2×23×3=49,P(ξ=2)=19,故ξ的分布列为ξ012P494919E(ξ)=0×49+1×49+2×19=23.7.447 取出4个球,颜色分布情况是:4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,相应的概率为P(ξ=5)=C41C33C74=435,P(ξ=6)=C42C32C74=1835,P(ξ=7)=C43C31C74=1235,P(ξ=8)=C44C30C74=135.则E(ξ)=5×435+6×1835+7×1235+8×135=447.8.32 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为1-122=34.所以在2次试验中成功次数X的取值为0,1,2,其中P(X=0)=142=116,P(X=1)=C21×34×14=38,P(X=2)=34×34=916,所以在2次试验中成功次数X的均值是E(X)=0×116+1×38+2×916=32.9.0.6 3 投篮一次,命中次数ξ的分布列为ξ01P0.40.6则E(ξ)=0×0.4+1×0.6=0.6.重复投篮5次,命中的次数η服从二项分布B(5,0.6),则E(η)=np=5×0.6=3.10.解E(X)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;E(Y)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9,D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)<D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.6\n11.解(1)设抛掷硬币一次正面朝上的概率为p,则C33p3=127,得p=13.所以抛掷这样的硬币三次,恰有两次正面朝上的概率为P=C32132×23=29.(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ=0)=C30×233×12=427;P(ξ=1)=C30×233×12+C31×13×232×12=1027;P(ξ=2)=C31×13×232×12+C32×132×23×12=927=13;P(ξ=3)=C32×132×23×12+C33×133×12=754;P(ξ=4)=C33×133×12=154.所以ξ的分布列为ξ01234p427102713754154E(ξ)=0×427+1×1027+2×13+3×754+4×154=32.12.解(1)由题意知列联表为喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》合计男生451560女生152540合计6040100K2=100×(45×25-15×15)260×40×60×40≈14.063>10.828,故有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关.(2)X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C22C52=110,P(X=1)=C21C31C52=35,P(X=2)=C32C52=310,故X的分布列为X012P11035310E(X)=0×110+1×35+2×310=65.13.解(1)x=15(1+2+3+4+5)=3,y=15(4+4+5+6+6)=5.∵回归直线y^=b^x+a^过点(x,y),∴a^=y-b^x=5-0.6×3=3.2,∴6月份生产的甲胶囊的产量数y^=0.6×6+3.2=6.8(万盒).(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6\nP(ξ=0)=C53C93=542,P(ξ=1)=C41C52C93=1021,P(ξ=2)=C42C51C93=514,P(ξ=3)=C43C93=121,ξ的分布列为:ξ0123P5421021514121所以E(ξ)=542×0+1021×1+514×2+121×3=43.14.解(1)依题意,得ξ的所有可能取值分别为0,1,2,3.因为ξ~B3,13,所以P(ξ=0)=C30×233=827,P(ξ=1)=C31×131×232=49,P(ξ=2)=C32×132×231=29,P(ξ=3)=C33×133=127.所以ξ的分布列为:ξ0123P8274929127所以ξ的数学期望为E(ξ)=3×13=1,ξ的方差为D(ξ)=3×13×1-13=23.(2)因为f(x)=x-32ξ2+1-94ξ2的图象的对称轴方程为x=32ξ,又函数f(x)=x2-3ξx+1在[2,+∞)内单调递增,所以32ξ≤2,即ξ≤43.所以事件A的概率P(A)=Pξ≤43=P(ξ=0)+P(ξ=1)=827+49=2027.6
