课时规范练38 空间几何体的表面积与体积一、基础巩固组1.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.12+42B.18+82C.28D.20+822.(2022安徽黄山二模,理6)过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分,所得几何体的三视图如图所示,则原圆锥的体积为( )A.1B.2π3C.4π3D.8π33.已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面,底面为正三角形,且侧棱长与底面边长之比为2∶1,顶点都在一个球面上,若该球的表面积为16π3,则此三棱柱的侧面积为( )A.3B.32C.8D.64.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )A.13+2π3B.13+2π3C.13+2π6D.1+2π65.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )7\nA.2B.23C.43D.53〚导学号21500743〛6.(2022宁夏银川二模,理9)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=6,∠ABC=90°,若四面体ABCD体积的最大值为3,则这个球的表面积为( )A.2πB.4πC.8πD.16π7.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为( )A.22B.1C.2D.3〚导学号21500744〛8.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则四面体PBCE的体积为 . 9.(2022河北武邑中学一模,理13)已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开是半圆,则该圆锥的体积为 . 10.(2022天津河东区一模,理11)已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为 . 11.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是 . 7\n12.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为 . 二、综合提升组13.如图是某个几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为2的等腰直角三角形,则该几何体外接球的直径为( )A.2B.22C.3D.2314.一个四面体的顶点都在球面上,它的正视图、侧视图、俯视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是( )A.πB.3πC.4πD.6π〚导学号21500745〛15.已知正四棱锥O-ABCD的体积为322,底面边长为3,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为 . 16.(2022陕西咸阳二模,理16)已知一个三棱锥的所有棱长均为2,则该三棱锥的内切球的体积为 . 三、创新应用组17.(2022石家庄二中模拟,理15)半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是 . 18.(2022全国Ⅰ,理16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 . 〚导学号21500746〛7\n课时规范练38 空间几何体的表面积与体积1.D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱,如图.则该几何体的表面积为S=2×12×2×2+4×2×2+22×4=20+82,故选D.2.D 由三视图可得底面圆的半径为3+1=2,圆锥的高为5-1=2,∴原圆锥的体积为13π×22×2=8π3,故选D.3.D 如图,根据球的表面积可得球的半径为r=43,设三棱柱的底面边长为x,则432=x2+33x2,解得x=1,故该三棱柱的侧面积为3×1×2=6.4.C 由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积V1=12×43π×223=2π6,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积V2=13×1×1=13,所以该几何体的体积V=V1+V2=13+2π6.故选C.5.D 由已知中的三视图,可知该几何体是一个长方体,切去了一个边长为1,高也是1的正四棱锥(如图),长方体ABCD-A'B'C'D'切去正四棱锥S-ABCD.长方体的体积为V长方体=1×1×2=2,正四棱锥的体积为V正四棱锥=13×1×1×1=13,故该几何体的体积V=2-13=53.故选D.6.D 由题意,知S△ABC=3,设△ABC所在球的小圆的圆心为Q,则Q为AC的中点,当DQ与面ABC垂直时,四面体ABCD的最大体积为13S△ABC·DQ=3,∴DQ=3,如图,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=(3)2+(3-R)2,∴R=2,则这个球的表面积为S=4π×22=16π.故选D.7.7\nC 由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在圆面的直径,所以∠BAC=90°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,OM=x2,MC1=x2,OC1=R=1(R为球的半径),所以x22+x22=1,即x=2,则AB=AC=1.所以侧面ABB1A1的面积S=2×1=2.8.33 显然PA⊥面BCE,底面BCE的面积为12×1×2×sin120°=32,所以VP-BCE=13×2×32=33.9.33π 由题意知圆锥的底面周长为2π,设圆锥的底面半径是r,则得到2πr=2π,解得r=1,∴圆锥的高为h=22-12=3.∴圆锥的体积为V=13πr2h=33π.10.53 如图所示,该几何体为如下四棱锥P-ABCD,其中PA⊥底面ABCD,底面四边形由直角梯形ABED,Rt△DCE组成,AB∥DE,AB⊥BC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.∴S底面ABCD=1+22×1+12×2×1=52.V=13×52×2=53.11.26 易知该几何体是正四棱锥.连接BD,设正四棱锥P-ABCD,由PD=PB=1,BD=2,得PD⊥PB.设底面中心O,则四棱锥的高PO=22,则其体积是V=13Sh=13×12×22=26.12.9π2 如图,设球O的半径为R,则AH=2R3,OH=R3.又π·EH2=π,∴EH=1.∵在Rt△OEH中,R2=R32+12,∴R2=98.∴S球=4πR2=9π2.13.D 由题意可知三视图复原的几何体如图,四棱锥S-BCDE是正方体的一部分,正方体的棱长为2,所以几何体外接球为正方体外接球,该几何体外接球的直径为23.14.B 由三视图可知,该四面体是正四面体.∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为3.7\n∴此四面体的外接球的表面积为4π×322=3π,故选B.15.24π 如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=13·S正方形ABCD·OO1=13×(3)2×OO1=322,∴OO1=322,AO1=62,在Rt△OO1A中,OA=OO12+AO12=3222+622=6,即R=6,∴S球=4πR2=24π.16.354π 如图,O为正四面体ABCD的内切球的球心,正四面体的棱长为2,所以OE为内切球的半径,设OA=OB=R,在等边三角形BCD中,BE=33×2=63,AE=2-69=233.由OB2=OE2+BE2,即有R2=233-R2+23,解得R=32.OE=AE-R=36,则其内切球的半径是36,故内切球的体积为43π×363=354π.17.4π-33 如图所示,设球心为O点,上下底面的中心分别为O1,O2,设正三棱柱的底面边长与高分别为x,h,则O2A=33x,在Rt△OAO2中,h24+13x2=1,化为h2=4-43x2,∵S侧=3xh,∴S侧2=9x2h2=12x2(3-x2)≤12x2+3-x222=27,当且仅当x=62时取等号,S侧=33,∴球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4π-33,故答案为4π-33.18.415 如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=36BC.7\n设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.因为S△ABC=12×23x×3x=33x2,所以三棱锥的体积V=13S△ABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5.令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)单调递增,在2,52单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=415,所以三棱锥体积的最大值为415.7
