课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固组1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)2.(2022广东揭阳一模)已知点A(0,1),B(3,2),向量BC=(-7,-4),则向量AC=( )A.(10,7)B.(10,5)C.(-4,-3)D.(-4,-1)3.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)4.已知平面向量a=(1,-2),b=(2,m),且a∥b,则3a+2b=( )A.(7,2)B.(7,-14)C.(7,-4)D.(7,-8)5.已知向量AC,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示,若AC=λAB+μAD,则λμ=( )A.-3B.3C.-4D.46.在△ABC中,点P在边BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于( )A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)7.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使MA1+MA2+MA3+MA4=0成立的点M的个数为( )A.0B.1C.2D.4〚导学号21500537〛8.(2022福建龙岩一模)已知平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且AB∥AC,则x的值为 . 9.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|= . 10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.11.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知AM=c,AN=d,则AB= ,AD= .(用c,d表示) 12.(2022湖南模拟)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为2π3.如图所示,点C在以O为圆心的AB上运动.若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值为 . 5\n二、综合提升组13.(2022河北武邑中学一模,理7)在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,|AD|的值为( )A.72B.3C.52D.12514.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是( )A.0,12B.0,13C.-12,0D.-13,015.设O在△ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC的面积和△AOC的面积之比为( )A.3B.53C.2D.32〚导学号21500538〛16.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 . 三、创新应用组17.(2022辽宁大连模拟)在△ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cAC+aPA+bPB=0,则△ABC的形状为( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形,但不是等边三角形18.(2022全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=λAB+μAD,则λ+μ的最大值为( )A.3B.22C.5D.2〚导学号21500539〛课时规范练25 平面向量基本定理及向量的坐标表示1.B 由题意知,A选项中e1=0;C,D选项中的两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.2.C 由点A(0,1),B(3,2),得AB=(3,1).又由BC=(-7,-4),得AC=AB+BC=(-4,-3).故选C.3.D 由题意,得向量a,b不共线,则2m≠3m-2,解得m≠2.故选D.5\n4.B 因为a∥b,所以m+4=0,所以m=-4.所以b=(2,-4).所以3a+2b=(7,-14).5.A 设小正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,则AC=(2,-2),AB=(1,2),AD=(1,0).由题意,得(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即2=λ+μ,-2=2λ,解得λ=-1,μ=3,所以λμ=-3.故选A.6.B 如图,BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).7.B 设M(x,y),Ai=(xi,yi)(i=1,2,3,4),则MAi=(xi-x,yi-y).由∑i=14MAi=0,得x1+x2+x3+x4-4x=0,y1+y2+y3+y4-4y=0,即x=14(x1+x2+x3+x4),y=14(y1+y2+y3+y4),故点M只有1个.8.1 由题意,得AB=(3,6),AC=(x,2).∵AB∥AC,∴6x-6=0,解得x=1.9.5 |b|=22+12=5.由λa+b=0,得b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=|b||a|=51=5.10.(-1,1)或(-3,1) 由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),故a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).11.23(2d-c) 23(2c-d) 设AB=a,AD=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以BN=12b,DM=12a.又c=b+12a,d=a+12b,所以a=23(2d-c),b=23(2c-d),即AB=23(2d-c),AD=23(2c-d).12.2 以O为坐标原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,5\n则A(1,0),B-12,32.设∠AOC=αα∈0,2π3,则C(cosα,sinα).由OC=xOA+yOB,得cosα=x-12y,sinα=32y,所以x=cosα+33sinα,y=233sinα,所以x+y=cosα+3sinα=2sinα+π6.又α∈0,2π3,所以当α=π3时,x+y取得最大值2.13.C 因为AD=λAB+μAC,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤λ+μ22=14,当且仅当λ=μ=12时取等号,此时AD=12AB+12AC,即D是线段BC的中点,所以|AD|=12|BC|=52.故选C.14.D 依题意,设BO=λBC,其中1<λ<43,则AO=AB+BO=AB+λBC=AB+λ(AC-AB)=(1-λ)AB+λAC.又AO=xAB+(1-x)AC,且AB,AC不共线,所以x=1-λ∈-13,0,即x的取值范围是-13,0.故选D.15.A 设AC,BC的中点分别为M,N,则OA+2OB+3OC=0可化为(OA+OC)+2(OB+OC)=0,即OM+2ON=0,所以OM=-2ON.所以M,O,N三点共线,即O为中位线MN的三等分点,所以S△AOC=23S△ANC=23×12S△ABC=13S△ABC,所以S△ABCS△AOC=3.16.(0,2) ∵向量a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),所以-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2,故向量a在基底m,n下的坐标为(0,2).17.A 如图,由cAC+aPA+bPB=0,得c(PC-PA)+aPA-bPC=(a-c)PA+(c-b)PC=0.∵PA与PC为不共线向量,∴a-c=c-b=0,5\n∴a=b=c.18.A 建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD||BD|=2×15=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=λAB+μAD,得x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y,所以λ+μ=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即|2-z|14+1≤255,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.5
