5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固强化1.(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a、b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是( )A. B.C.D．π[答案] A[解析] 由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，∴a·b＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝，故选A.2．(2011·湖北八市调研)向量a＝(，tanα)，b＝(cosα，)，且a∥b，则锐角α的正弦值为( )A. B.C.D.[答案] B[解析] 依题意得×－tanα×cosα＝0，即sinα＝.3．(2011·皖南八校第二次联考)已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与b垂直，则λ的值为( )A.B．－C.D．－[答案] D[解析] ∵a＝(3,4)，b＝(2，－1)，∴a＋λb＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－，故选D.4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D12\n的坐标为( )A．(2，)B．(2，－)C．(3,2)D．(1,3)[答案] A[解析] 设点D(m，n)，则由题意知，(4,3)＝2(m，n－2)，∴解得m＝2，n＝，∴D(2，)，故选A.5．(文)(2011·宁波十校联考)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)[答案] C[解析] 由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．(理)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)[答案] B[解析] 由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)，选B.6．(文)(2011·蚌埠二中质检)已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为( )A．－2B．－1C．1D．2[答案] B[解析] ＝(2,3)，∵⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.(理)(2012·重庆理，6)设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( )12\nA.B.C．2D．10[答案] B[解析] ∵a⊥c，∴2x－4＝0，∴x＝2，∵b∥c，∴1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2，∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.7．(2011·海南质检)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．[答案] (0，－2)[解析] 由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．8．(2012·安徽文)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.[答案] [解析] a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.9．(2012·西安五校第二次联考)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD、AB的中点，设＝a，＝b.若＝ma＋nb，则＝________.[答案] －4[解析] ＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b，∴m＝，n＝－1，∴＝－4.12\n10.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值．[解析] 设＝e1，＝e2，则＝＋＝－3e2－e1，＝2e1＋e2，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在λ、μ∈R，使＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而＝＋＝2e1＋3e2，∴由平面向量基本定理得∴∴＝，即AP:PM＝4:1.能力拓展提升11.(2012·天津文，8)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P、Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－2，则λ＝( )A. B. C. D．2[答案] B[解析] 本题考查向量的加法、减法运算．由题意，＝－＝(1－λ)－，＝＋12\n＝－＋λ，·＝(λ－1)2－λ2＝3λ－4＝－2，∴λ＝.用模与夹角都已知的、来表示、是解题关键，(、看作一组基底)．另外本题可以将向量坐标化去解答．12．(文)在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G点．若＝a，＝b，则＝( )A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b[答案] C[解析] ∵B、G、F三点共线，∴＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.∵E、G、C三点共线，∴＝μ＋(1－μ)＝μa＋(1－μ)(a＋b)．由平面向量基本定理得，∴∴＝a＋b.(理)(2012·沈阳质检)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )A. B.C.D．1[答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N为AM的中点，可得＝＝λ＋μ，整理得＝2λ＋2μ，由于点M在直线BC上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12\n.13.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，用基底a、b表示向量＝________.[答案] a＋b[分析] 先利用三点共线进行转化，再通过用基底表示向量的唯一性进行求解．[解析] 易得＝＝b，＝＝a，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.由C、E、M三点共线知存在实数n，满足＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b.由于a、b为基底，所以解得12\n所以＝a＋b.[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有：1．运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；2．将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．14．(文)已知A(－2,3)，B(3，－1)，点P在线段AB上，且|AP||PB|＝12，则P点坐标为________．[答案] [解析] 设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，＝(3－x，－1－y)，∵P在线段AB上，且|AP||PB|＝12，∴＝，∴(x＋2，y－3)＝，∴∴即P.(理)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，＝α，＝β，则＋＝________.[答案] 3[解析] 连接AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)，设＝λ，∴－＝λ(－)，∴＝＋，∴＋＝＋，∴∴∴＋＝3.15．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.[解析] 因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)12\n所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，所以F为AD的中点，故有＝＝－＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则＝(＋)．16．(文)已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，动点N的轨迹为C，求曲线C的方程．[解析] 设N(x，y)，M(x0，y0)，∵N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，∴＝2或＝－2，＝(x0＋1，y0－1)，＝(x－x0，y－y0)，∴或∴或代入圆方程中得(2x＋5)2＋(2y－2)2＝81或(2x＋3)2＋(2y－2)2＝9.(理)设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R)．(1)记＝a，＝tb，＝(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－xb|的值最小？[解析] (1)∵A、B、C三点共线，∴与共线，又∵＝－＝tb－a，＝－＝b－a，∴存在实数λ，使＝λ，即tb－a＝b－a，∴t＝.(2)∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝－，∴|a－xb|2＝|a|2＋x2|b|2－2x·a·b＝1＋x2＋x12\n＝(x＋)2＋≥，∴|a－xb|的最小值为，此时x＝－.1．(2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )A．(，)B．(－，－)C．(，)D．(－，－)[答案] D[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，则有－3×(1＋m)＝2×(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.2．已知两个非零向量a＝(m－1，n－1)，b＝(m－3，n－3)，且a与b的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是( )A．[，3]B．[2,6]C．(，3)D．(2,6)[答案] D[解析] 根据a与b的夹角是钝角或直角得a·b≤0，即(m－1)(m－3)＋(n－1)(n－3)≤0.整理得：(m－2)2＋(n－2)2≤2.所以点(m，n)在以(2,2)为圆心，为半径的圆上或圆内．令m＋n＝z，则n＝－m＋z表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z的直线，显然直线与圆相切时，z取最大(小)值，∴2≤z≤6，即2≤m＋n≤6.当取等号时有m＝n＝1或m＝n＝3，均不合题意，故选D.12\n3．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|＋|＝|－|，其中O为坐标原点，则实数a的值为( )A．2B．－2C．2或－2D.或－[答案] C[解析] 以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|＋|＝|－|得，平行四边形OACB为矩形，⊥.由图形易知直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2，所以选C.4．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．[答案] 1:4[解析] 如图，＝，＝，在BC上取点G，使＝，则EG∥AC，FG∥AE，∴＝＋＝，∴M与G重合，12\n∴＝＝.5．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝2b，向量m＝，n＝(1，sinA＋cosA)，且m与n共线．(1)求角A的大小；(2)求的值．[解析] (1)∵m∥n，∴sinA(sinA＋cosA)－＝0，即sin＝1.∵A∈(0，π)，∴2A－∈.∴2A－＝.∴A＝.(2)由余弦定理及c＝2b、A＝得，a2＝2＋c2－2··ccos，a2＝c2，∴＝.6．(2012·湖南邵阳第一次联考)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)在(－，0]上的值域；(2)当x∈(0，π)时，若a∥b，求x的值．[解析] (1)f(x)＝a·b＝cos2x＋sinxcosx＝(1＋cos2x＋sin2x)＝sin(2x＋)＋.∵－<x≤0，∴－<2x＋≤，∴－1≤sin(2x＋)≤，∴－≤f(x)≤1，即f(x)的值域为[－，1]．12\n(2)∵a∥b，∴cos2x＝sinxcosx，∴cosx(cosx－sinx)＝0，即cosx＝0或cosx＝sinx.∵x∈(0，π)，∴x＝或x＝.12
