课时规范练54 坐标系与参数方程基础巩固组1.已知曲线C:x24+y29=1,直线l:x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.2.(2022辽宁大连一模,文22)已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程为x=1-255t,y=1+55t(t为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)若曲线C2的参数方程为x=2cosα,y=sinα(α为参数),曲线C1上点P的极角为π4,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.3.(2022安徽马鞍山一模,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=cosα,y=1+sinα(α为参数,α∈R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρsinθ-π4=2.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.8\n4.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是x=tcosα,y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=10,求l的斜率.5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcosα,y=tsinα(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.〚导学号24190956〛综合提升组6.(2022山西临汾三模,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsinθ-π4=22m.8\n(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.7.(2022山西太原二模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ(其中φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ(tanαcosθ-sinθ)=1α为常数,0<α<π,且α≠π2,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.(1)求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.8.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3cosα,y=sinα(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+π4=22.8\n(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.〚导学号24190957〛创新应用组9.(2022辽宁沈阳三模,22)已知曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换x'=12x,y'=13y得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C'的极坐标方程;(2)若过点A32,π(极坐标)且倾斜角为π6的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求|AP||AM|·|AN|的值.8\n10.(2022河北邯郸二模,文22)在极坐标系中,已知三点O(0,0),A2,π2,B22,π4.(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为x=-1+acosθ,y=-1+asinθ(θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.答案：1.解(1)曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=55|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=dsin30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255.2.解(1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,可得直角坐标方程:C1:x2+y2-4x=0.直线l的参数方程为x=1-255t,y=1+55t(t为参数),消去参数t可得普通方程:x+2y-3=0.(2)P22,π4,直角坐标为(2,2),Q(2cosα,sinα),M1+cosα,1+12sinα,∴M到l的距离d=|1+cosα+2+sinα-3|58\n=105sinα+π4≤105,从而最大值为105.3.解(1)由x=cosα,y=1+sinα⇒x=cosα,y-1=sinα⇒x2+(y-1)2=1,由ρsinθ-π4=2⇒22ρsinθ-22ρcosθ=2⇒y-x=2,即C2:x-y+2=0.(2)∵直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,故圆心到直线的距离d=|0-1+2|12+(-1)2=22,∴|AB|=212-222=2.4.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=(ρ1+ρ2)2-4ρ1ρ2=144cos2α-44.由|AB|=10得cos2α=38,tanα=±153.所以l的斜率为153或-153.5.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-23x=0.联立x2+y2-2y=0,x2+y2-23x=0,解得x=0,y=0或x=32,y=32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(23cosα,α).所以|AB|=|2sinα-23cosα|=4sinα-π3.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.8\n6.解(1)曲线C1的参数方程为x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α,消去参数,可得y=x2(-2≤x≤2),由ρsinθ-π4=22m,得22ρsinθ-22ρcosθ=22m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)由y=x2,x-y+m=0,可得x2-x-m=0,∵曲线C1与曲线C2有公共点,∴m=x2-x=x-122-14.∵-2≤x≤2,∴-14≤m≤6.7.解(1)曲线C1的参数方程为x=2cosφ,y=sinφ(其中φ为参数),普通方程为x24+y2=1;曲线C2的极坐标方程为ρ(tanα·cosθ-sinθ)=1,直角坐标方程为xtanα-y-1=0.(2)C2的参数方程为x=tcosα,y=-1+tsinα(t为参数),代入x24+y2=1,得14cos2α+sin2αt2-2tsinα=0,∴t1+t2=2sinα14cos2α+sin2α,∴|AB|=2sinα14cos2α+sin2α=83sinα+1sinα,∵0<α<π,且α≠π2,∴sinα∈(0,1),∴|AB|max=433,此时B的坐标为±433,13.8.解(1)C1的普通方程为x23+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(3cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=|3cosα+sinα-4|2=2sinα+π3-2.当且仅当α=2kπ+π6(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为2,此时P的直角坐标为32,12.9.解(1)C:x=2cosθ,y=3sinθ⇒x24+y23=1,x'=12x,y'=13y⇒x=2x',y=3y',8\n代入C的普通方程可得x'2+y'2=1,因为ρ2=x2+y2,所以曲线C'的极坐标方程为C':ρ=1.(2)点A32,π的直角坐标是A32,0,将l的参数方程x=-2+tcosπ6,y=tsinπ6代入x2+y2=1,可得4t2-63t+5=0,∴t1+t2=332,t1·t2=54,|AP||AM|·|AN|=t1+t22|t1t2|=335.10.解(1)将O,A,B三点化成直角坐标为O(0,0),A(0,2),B(2,2).∴圆C1的圆心为(1,1),半径为2,∴圆C1的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入普通方程得ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0,∴ρ=22sinθ+π4.(2)∵圆C2的参数方程为x=-1+acosθ,y=-1+asinθ(θ是参数),∴圆C2的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圆C2的圆心为(-1,-1),半径为|a|.∵圆C1与圆C2外切,∴22=2+|a|,解得a=±2.8
