课时规范练55 极坐标方程与参数方程基础巩固组1.(2019江苏,21)在极坐标系中,已知两点A3,π4,B2,π2,直线l的方程为ρsinθ+π4=3.(1)求A,B两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.2.(2020湖南长郡中学四模,理22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=23cosα,y=2sinα(α为参数),将直线6x-y-21=0上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的13倍得到直线l'.(1)求直线l'的普通方程;(2)设P为曲线C上的动点,求点P到直线l'的距离的最小值及此时点P的坐标.\n3.(2020全国3,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2-t-t2,y=2-3t+t2(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.4.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:x=cosα,y=1+sinα(α为参数),在以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+π4=-2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)求曲线C与直线l交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).5.(2020河北唐山一模,文22)在极坐标系中,圆C:ρ=4sinθ,直线l:ρcosθ=2.以极点O为坐标原点,以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.\n(1)求圆C的参数方程,直线l的直角坐标方程;(2)点A在圆C上,AB⊥l于点B,记△OAB的面积为S,求S的最大值.6.(2019全国2,理22)在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=π3时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.综合提升组7.(2020河北保定一模,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数),M是C1上的动点,点P满足OP=2OM,且其轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线OE与C1,C2的交点分别为A,B(均异于O),求线段AB中点Q的轨迹的极坐标方程.\n8.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是1ρ2=cos2θ4+sin2θ3.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设过点P(1,0)且倾斜角为45°的直线l和曲线C交于两点A,B,求|PA|+|PB|的值.创新应用组9.(2020江苏,21)在极坐标系中,已知点Aρ1,π3在直线l:ρcosθ=2上,点Bρ2,π6在圆C:ρ=4sinθ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π).(1)求ρ1,ρ2的值;(2)求出直线l与圆C的公共点的极坐标.\n10.在平面直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l的参数方程为x=-2+tcosα,y=tsinα(t为参数),曲线C的参数方程为x=cosθ,y=sinθ(θ为参数),点P的坐标为(-2,0).(1)当cosα=1213时,设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值;(2)若点Q在曲线C上运动,点M在线段PQ上运动,且PM=2MQ,求动点M的轨迹的参数方程,并把参数方程化为普通方程.参考答案课时规范练55 极坐标方程与参数方程1.解(1)设极点为O.在△OAB中,A3,π4,B2,π2,由余弦定理,得AB=32+(2)2-2×3×2×cosπ2-π4=5.(2)因为直线l的方程为ρsinθ+π4=3,则直线l过点32,π2,倾斜角为3π4.又B2,π2,所以点B到直线l的距离为(32-2)×sin3π4-π2=2.2.解(1)设直线l'上的点为(x',y'),由题可知x'=2x,y'=13y,即x=12x',y=3y',\n代入6x-y-21=0,得3x'-3y'-21=0,即x'-y'-7=0,因此直线l'的普通方程为x-y-7=0.(2)点P(23cosα,2sinα)到直线l'的距离d=|23cosα-2sinα-7|2=|4cos(α+π6)-7|2,所以当α=-π6+2kπ(k∈Z)时,dmin=|4-7|2=322,此时P(3,-1).3.解(1)因为t≠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=410.(2)由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为x-4+y12=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得直线AB的极坐标方程3ρcosθ-ρsinθ+12=0.4.解(1)曲线C化为普通方程为x2+(y-1)2=1,由2ρcosθ+π4=-2,得ρcosθ-ρsinθ=-2,所以直线的直角坐标方程为x-y+2=0.(2)C的普通方程为x2+y2-2y=0,联立x-y+2=0,x2+y2-2y=0,解得x=-1,y=1或x=0,y=2,所以交点的极坐标为2,3π4,2,π2.5.解(1)由题意得x=ρcosθ,所以直线l的直角坐标方程为x=2.又因为ρ2=x2+y2,y=ρsinθ,所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,从而圆C的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数).(2)设A(2cosα,2+2sinα),0<α<2π,则B(2,2+2sinα).所以S=2(1-cosα)(1+sinα)=2sinα-2cosα-2cosαsinα+2=(sinα-cosα)2+2(sinα-cosα)+1=(sinα-cosα+1)2=2sinα-π4+12.当α-π4=π2,即α=3π4时,S取得最大值3+22.6.解(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=π3时,ρ0=4sinπ3=23.由已知得|OP|=|OA|cosπ3=2.设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中,ρcosθ-π3=|OP|=2.经检验,点P2,π3在曲线ρcosθ-π3=2上.所以,l的极坐标方程为ρcosθ-π3=2.\n(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是π4,π2.所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈π4,π2.7.解(1)(方法1)设P(x,y),则由条件知Mx2,y2.由于点M在C1上,所以x2=2cosα,y2=2+2sinα,从而C2的参数方程为x=4cosα,y=4+4sinα(α为参数),消去参数得到C2的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16.(方法2)由x=2cosα,y=2+2sinα,得x=2cosα,-2=2sinα,即C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.设P(x,y),则由条件知Mx2,y2.由于点M在C1上,所以x22+y2-22=4,化简得所求的直角坐标方程为x2+(y-4)2=16.(2)因为C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,所以将x2+y2=ρ2,y=ρsinθ代入C1的直角坐标方程得其极坐标方程为ρ=4sinθ,同理可得曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.设Q(ρ,θ),A(ρ1,θ),B(ρ2,θ),则AB的中点Q的轨迹方程为ρ=ρ1+ρ22=6sinθ,即AB的中点Q的轨迹极坐标方程为ρ=6sinθ.8.解(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入1ρ2=cos2θ4+sin2θ3,得曲线C的直角坐标方程为x24+y23=1.即x24+y23=1为曲线C的直角坐标方程.(2)依题意得直线l:y=x-1,与椭圆x24+y23=1联立得3x2+4(x-1)2=12,即7x2-8x-8=0,∴|PA|+|PB|=|AB|=1+k2|x1-x2|=2·(-8)2-4×7×(-8)7=247.9.解(1)由ρ1cosπ3=2,得ρ1=4;ρ2=4sinπ6=2,又(0,0),即0,π6也在圆C上,因此ρ2=2或0.(2)由ρcosθ=2,ρ=4sinθ,得4sinθcosθ=2,所以sin2θ=1.因为ρ≥0,0≤θ<2π,所以θ=π4,ρ=22.所以公共点的极坐标为22,π4.\n10.解(1)曲线C的普通方程为x2+y2=1.当cosα=1213时,直线l的参数方程为x=-2+1213t,y=513t(t为参数),代入曲线C的普通方程,得t2-4813t+3=0.由于Δ=-48132-12=276169>0,故可设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=3,所以|PA|·|PB|=3.(2)设Q(cosθ,sinθ),M(x,y),则由PM=2MQ,得(x+2,y)=2(cosθ-x,sinθ-y),即3x+2=2cosθ,3y=2sinθ,即动点M的轨迹的参数方程为x=-23+23cosθ,y=23sinθ,由参数方程消去θ得x+232+y2=49.此即为点M的轨迹的普通方程.
